"완전히 직사각형이 아닌"그리드의 멀티 그리드

멀티 그리드 소개는 일반적으로 직사각형 그리드를 사용합니다. 값의 보간은 곧장 진행됩니다. 대략 그리드의 인접한 두 노드 사이의 에지에서 선형으로 보간하여 해당 에지에서 미세 그리드 노드의 값을 찾습니다.

FEM 응용 프로그램의 경우 노드 연결이 직사각형 그리드와 동일하도록 "토폴로지"직사각형 그리드가 있습니다. 그러나 노드는 그리드에 완벽하게 정렬되지는 않지만 형상을 더 잘 맞추기 위해 작은 거리를 여행하면서 완벽한 직사각형 그리드처럼 연결을 유지합니다.

메시는 다음과 같습니다 : 메시 예제 . 연결은 "정규 사각형"이지만 노드 위치는 그렇지 않습니다.

이러한 설정에 대해 몇 가지 "합리적인"기하학적 보간 체계를 이미지화 할 수 있습니다.

일반적인 질문은 다음과 같습니다. 멀티 그리드가 완벽하게 정렬 된 직사각형 그리드를 필요로합니까? 아니면이 경우 대수 멀티 그리드를 사용하는 것이 더 낫습니까? (기하학적 멀티 그리드만큼 직관적이지 않기 때문에 선호하지 않습니다.)

멀티 그리드는 데카르트 (직사각형)의 균일 한 그리드가 필요하지 않습니다. 필요한 것은 미세하고 거친 수준을 정의 할 수 있고 (2 수준에서 다중 수준 구성으로 이동하려는 경우 재귀 적으로 가능) 이러한 수준 사이에 보간 연산자를 정의 할 수 있다는 것입니다. 이것을 설명하는 가장 쉬운 방법은 실제로 직교 그리드를 가지고 있다면, 실제로 어떤 거친 메쉬로 시작하여 한 번 수정하면 다음과 같이됩니다 : 더 미세한 메쉬를가집니다.

다시 말해, 멀티 그리드에 적합한 메시는 미세한 메시가 아니라 더 거친 메시를 찾는 방법이 아니라 균일 한 세분화를 통해 더 세밀한 레벨을 얻는 거친 메시로 시작하는 것이 가장 쉽습니다 (즉, 모든 사변형은 네 개의 작은 것으로 세분화 됨). 균일 한 세분화가 항상 가능하므로 계층 구조를 쉽게 제공 할 수 있습니다. 이것은 조 대화와 반대입니다. 이는 특정 메시 만 제공되는 경우 항상 가능하지 않으므로 메시 계층 구조를 훨씬 더 복잡하게 정의 할 수 있습니다. (왜냐하면 사람들은 기본 메쉬를 만들지 않고 매트릭스를 기반으로 거친 수준을 정의하기 위해 대수 멀티 그리드 방법을 생각해 냈습니다.)

직사각형 요소로 구성된 다음 그리드가 있다고 가정 해 봅시다.

이제 일반 구조의 직사각형 그리드를 가정하여 보간을 수행하면이 부정확 한 보간과 관련된 오류가 발생합니다. 즉, 잔차 벡터를 제한하고 오차 벡터를 연장하면 보간에서 오류가 발생합니다.

이제 그리드가 일반적인 구조적 직교 그리드와 "가까운"경우에는 적어도 처음에는 작동하지만 그리드가 사각형에서 얼마나 떨어져 있는지에 따라 두 가지 중 하나가 발생할 것으로 생각됩니다.

1) 멀티 그리드가 처음에 수렴하기 시작합니다. 어쨌든 처음에는 오류가 크며 "대략적인"보간은 실제로 일부 노드가 약간 과장되어 있고 일부는 약간 표시되어 있음을 의미합니다. 그러나 솔루션이 더 정확 해지고 보간 오류가 더 중요 해짐에 따라 수렴이 정체 될 수 있습니다.

2) 또 다른 가능성은 멀티 그리드가 수렴하게되지만 올바른 보간을 사용한 경우보다 빠르지 않을 수 있습니다.

기본적으로 보간을 해제하면 특정 노드의 중요성에 부정확 한 가중치가 부여됩니다. 예를 들어 주어진 노드에 다음과 같이 가중치를 부여하는 경우 2D에서

실제로 그리드가 직교가 아니기 때문에 다음과 같아야합니다.

그러면 약간의 오류가 발생합니다. 이 오류가 컨버전스를 방지하는지 여부는 그리드가 직교에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 따라 다릅니다.

AMG는 이해 / 구현하기가 더 어렵지만 그리드에 대한 올바른 방법 인 것 같습니다. "대략적인"직사각형 그리드에 기하 멀티 그리드를 적용하면 효과가있을 수 있지만, 반창고 솔루션이라고 생각합니다. 도움이 되었기를 바랍니다.

업데이트 : 내 대답에 약간의 혼란이 있었을 것이라고 생각합니다. 지오메트리 멀티 그리드는 직교 메시에서만 작동한다는 것이 아니라, 직교 메시에 대한 보간 (및 제한)을 정의하는 것이 쉽지만 비 구조적 메시에서는 이것이 어렵다는 것을 말하는 것은 아닙니다. 예를 들어 삼각 메쉬가있는 단순한 2D 도메인의 경우를 생각해보십시오. 이 메시를 수정하는 것은 적어도 개념적으로는 쉽지만 거친 메시와가는 메시 사이에 보간 연산자를 어떻게 정의 하시겠습니까? AMG는 "블랙 박스"솔버와 같은 기능을 수행하기 때문에 단순히 기본 메시에 대한 정보가 필요하지 않기 때문에 AMG를 선호합니다. 기하 멀티 그리드는 정확한 보간 연산자를 제공 할 수있는 한 작동 할 수 있습니다.