log1p와 expm1은 언제 사용해야합니까?

Google에 어려운 질문이 있습니다 ( 모든 컴퓨터 과학자가 부동 소수점 산술 용지에 대해 알아야 할 표준 외에도 ).

과 대신에 log1p또는 같은 기능을 사용해야하는 경우는 언제 입니까? 언제 사용해서는 안됩니까? 이러한 기능의 다른 구현은 사용법 측면에서 어떻게 다릅니 까?expm1logexp

floating-point

— 팀
소스

Scicomp.SE에 오신 것을 환영합니다! 그것은 매우 합리적인 질문입니다,하지만 당신은 조금 설명하면 대답 쉬울 것이다 당신이 (우리가 생각하지 않아도이 구현있어 특히 방법)을 참조하고 있습니다. log1p

— Christian Clason

실수 인수의 경우

가 작을 때, 예를 들어 부동 소수점 정확도에서

일 때 log1p

및 expm1

사용해야합니다 . 예를 들어 docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.expm1.html 및 docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.log1p.html을 참조하십시오 .

(x)

$(x)$

(x)

$(x)$

x

$x$

1 + x = 1

$1 + x = 1$

— GoHokies

@ ChristianClason 덕분에 나는 주로 C ++ std 또는 R을 언급하고 있지만, 구현의 차이점에 대해 배우는 것도 매우 흥미로울 것이라고 생각하기 시작합니다.

— Tim

다음 예는 다음과 같습니다 scicomp.stackexchange.com/questions/8371/...

— 후안 M. 벨로 - 리 바스

@ user2186862 "때

뿐만 아니라, 작은"올바른 "경우

의 부동 소수점 정밀도"(발생위한

보통 배정도 산술). 문서 페이지는 당신은 그들이 이미 유용하다는 쇼 연결된

예를 들어,.

x

$x$

1 + x = 1

$1+x=1$

x \approx 10^{- 16}

$x\approx 10^{-16}$

x \approx 10^{- 10}

$x\approx 10^{-10}$

— Federico Poloni

답변:

우리는 모두

\exp (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \dots

$\begin{equation} \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac12 x^2 + \dots \end{equation}$ 에 대한 것을 의미

| x | ≪ 1

$|x| \ll 1$ ,

\exp (x) \approx 1 + x

$\exp(x) \approx 1 + x$ 입니다. 이것은 우리가있는 경우 부동 소수점에서 평가하는 것을 의미

\exp (x) - 1

$\exp(x) -1$ 위해,

| x | ≪ 1

$|x| \ll 1$ 치명적인 취소가 발생할 수 있습니다.

이것은 파이썬에서 쉽게 설명 할 수 있습니다.

>>> from math import (exp, expm1)

>>> x = 1e-8
>>> exp(x) - 1
9.99999993922529e-09
>>> expm1(x)
1.0000000050000001e-08

>>> x = 1e-22
>>> exp(x) - 1
0.0
>>> expm1(x)
1e-22

정확한 값은

\begin{aligned} \exp (10^{- 8}) - 1 & = 0.000000010000000050000000166666667083333334166666668 \dots \\ \exp (10^{- 22}) - 1 & = 0.000000000000000000000100000000000000000000005000000 \dots \end{aligned}

$\begin{align} \exp(10^{-8}) -1 &= 0.000000010000000050000000166666667083333334166666668 \dots \\ \exp(10^{-22})-1 &= 0.000000000000000000000100000000000000000000005000000 \dots \end{align}$

일반적으로에 "정확한"의 구현 exp과는 expm1더 이상 1ULP 이상 (마지막 장소, 즉 하나의 단위)에 올바른합니다. 그러나이 정확도를 달성하면 "느린"코드가 생성되기 때문에 때로는 더 빠르고 덜 정확한 구현이 가능합니다. 예를 들어 CUDA에는 expfand 가 있으며 빠른 expm1f곳을 f나타냅니다. CUDA C 프로그래밍 가이드, 앱 에 따르면 . Dexpf 오류는 2ULP입니다.

ULPS가 적은 순서대로 오류를 신경 쓰지 않으면 일반적으로 지수 함수의 다른 구현은 동일하지만 버그가 어딘가에 숨겨져있을 수 있습니다 ... ( Pentium FDIV 버그 기억 ?)

꽤 것을 명확하게 알 수 있도록 expm1계산하는 데 사용되어야한다 $\exp(x)-1$ 작은을 위해 $x$ . 일반 $x$ 사용하면expm1전체 범위에서 정확할 것으로 예상되므로 유해하지 않습니다.

>>> exp(200)-1 == exp(200) == expm1(200)
True

(위의 예 $1$ 은 $\exp(200)$ 1ULP보다 훨씬 낮으므로 세 표현식 모두 정확히 동일한 부동 소수점 숫자를 반환합니다.

유사한 논의가 역함수에 대한 보유 log하고 log1p보낸 $\log(1+x) \approx x$ 에 대한 $|x| \ll 1$ .

— 스테파노 M
소스

이 답변은 이미 OP 질문에 대한 의견에 포함되어 있습니다. 그러나 명확성을 위해 더 긴 (기본이지만) 설명을 제공하는 것이 유용하다고 생각했습니다. 일부 독자에게는 유용 할 것입니다.

— Stefano M

그래도 간단하게 "따라서 항상 exp 대신 expm1을 사용할 수있다"는 결론을 내릴 수 있습니다.

— Tim

@tim 당신의 결론이 잘못되었습니다 : 당신은 항상 expm1(x)대신 사용할 수 있습니다 exp(x)-1. 물론 exp(x) == exp(x) - 1일반적인 것은 아닙니다.

— Stefano M

x ≪ 1

$x \ll 1$

expm1(x)

0 \leq x \leq 1

$0\leq x \leq 1$ exp(x) - 1

x \approx 1

$x\approx 1$

x < ϵ

$x < \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

차이점을 확장하려면 log 과 log1p는 대수 경우 그래프를 기억하는 데 도움이 될 수 있습니다

log $x$ $0$ $\ln(x)$ $- \infty$ $x$ $0$ $\ln(x)$ $\ln(\frac{1}{e}) = -1$ $\ln(\frac{1}{e^{10}}) = -10$

$x$ $0$ $\ln(x+1)$ $0$ $\ln(1+\frac{1}{e}) \sim 0.31$ $\ln(1+\frac{1}{e^{10}}) \sim 0.000045$ log1p 양수 값만 생성하고 큰 음수의 '위험'을 제거합니다. 이는 일반적으로 데이터 집합에 0에 가까운 숫자가 포함되어있을 때 더 균일 한 분포를 보장합니다.

$1$ log $0$ $1$ log1p

— sfmiller940
소스