로그 로그 공간에 통합

나는 일반적으로 로그 로그 공간에서 훨씬 매끄럽고 더 나은 동작을 수행하는 함수를 사용하고 있습니다. 이러한 숫자 함수를 로그 로그 공간에 통합하는 방법이 있습니까?

즉, 누적 적분을 수행하기 위해 일종의 간단한 사다리꼴 규칙을 사용하기를 바라고 있습니다 (예 : python에서 scipy.integrate.cumtrapz).$F(r)$ 성

$$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$$

그러나 나는 값을 사용하기를 바라고있다. $log(y)$ 과 $log(x)$, 대신에 $y$ 과 $x$ (가능할 때).

변수를 변경할 수 있습니다. 환경$a=log(x)$, $b(a)=log(y(x))$. 적분은

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

당신은 통합하기 때문에 약간 조심해야 $-\infty$. 정확히 무엇을해야하는지에 따라$y(x)$ 처럼 보인다.

나는 파이썬을 사용하지 않지만 올바르게 이해하면

$$F(r)=\int_0^ry(x)dx$$ 당신은 같은 것을 생각하고 있습니다 $$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$$ 어디 $\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$ 그리드의 적분을 샘플링하는 벡터입니다. $\mathbf{x}$.

그러나 당신은 샘플이 없습니다 $x$ 과 $y$오히려 오히려 샘플이 있습니다. $\hat{x}=\log(x)$ 과 $\hat{y}=\log(y)$.

물론 가장 간단한 방법은

$$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$$ 그러나 이것은 오류가 발생하기 쉽습니다. $y(x)$ 비록 매끄럽지는 않지만 $\hat{y}(\hat{x})$ 입니다.

이제 사다리꼴 규칙 은 입력을 가정합니다.$y(x)$부분적으로 선형입니다. 간단한 일반화는$\hat{y}(\hat{x})$ 부분적으로 선형입니다.

이 경우 $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$당신은

$$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$$

그런 다음 정의 $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$당신은

$$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$$ 과 $\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$와 $a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$ 과 $b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$.

그래서 적분은

$$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$$

Matlab에서 이것은 다음과 같이 보일 것입니다

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

도움이 되었기를 바랍니다!

(편집 : 제 답변은 입력 할 때 Damascus Steel이 제공 한 훨씬 더 간결한 답변과 동일합니다. 유일한 차이점은 "특히 $y(x)$"는 부분 선형입니다 $\hat{y}(\hat{x})$ 불연속으로 이산 $\mathbf{\hat{x}}$ 와 메쉬 $F(\hat{x}_1)=0$.)

로그-로그 플롯에서 함수가 부드럽게 보이면 각 구간마다 전력 법칙을 사용하여 보간 할 수 있습니다 (물리 법칙은 물론 로그-로그에 선형 임). 따라서 점 사이$(x_i, y_i)$ 과 $(x_{i+1}, y_{i+1})$ 가정하에 $y = C_i x^{n_i}$ 간격 내에서 $i$, 당신은 얻을 $n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$ 과 $C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$. 구간에서 적분에 대한 기여$i$ 그렇다면

$$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$$ 특별한 경우를 식별하기 위해 약간의 내성이 필요합니다. $n_i=-1$ 당신의 구현에서.

이전 답변 중 일부에서 변수 변경과 약간의 오류가 혼동된다고 생각합니다. 로그 함수의 적분은 적분의 로그가 아닙니다. 나는 일반적으로 로그의 적분을 아는 함수의 적분을 작성하는 것이 어렵다고 생각합니다. 누구든지 그 방법을 알고 있다면 관심이 있습니다.

한편, 위의 @Stefan의 솔루션은 로그 로그 공간에 함수를 통합하는 방법입니다. 시작점은 다루는 함수가 충분히 작은 세그먼트를 위해 로그 로그 공간에서 선형이라는 것입니다.

그런 다음 세그먼트 끝점에서 선의 방정식을 쓸 수 있습니다.

$$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$$ $$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$$

어디 $m_1$ 선의 기울기 $n_1$ y 절편입니다.

둘을 빼면 다음을 찾을 수 있습니다.

$$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$$

그리고 대체에서 :

$$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$$

로그-로그 공간에서 세그먼트의 방정식이 선에 가까운 경우 정상 (선형) 공간에서 세그먼트의 방정식은 지수에 가깝습니다.

$$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$$

이 세그먼트에 대한 분석 공식이 있으면 쉽게 통합 할 수 있습니다.

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$$

과

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$$

이것은 부정 행위처럼 느껴지지만 이것은 로그 로그 공간에서 샘플링되어 선형 로그 공간의 함수를 로그 로그 공간에서 파생 된 매개 변수로 지수로 근사 할 수 있습니다.

내가 사용하는 솔루션은 기본적으로 사다리꼴 규칙의 구현이며 scipy.misc.logsumexp정밀도를 유지하기 위해 함수를 사용합니다 . lny대수를 반환하는 함수 가 있다면 y다음 과 같이 할 수 있습니다.

scipy.misc 가져 오기 logsumexp에서
numpy를 np로 가져 오기

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# x의 값을 로그 간격으로 구합니다.
xvs = np.logspace (np.log10 (xmin), np.log10 (xmax), 10000)

# xvs에서 함수 평가
lys = lny (xvs)

# 사다리꼴 규칙 통합 수행
델타 = np.log (np.diff (xvs))
logI = -np.log (2.) + logsumexp ([logsumexp (lys [:-1] + deltas), logsumexp (lys [1 :] + deltas)])

값 logI은 원하는 적분의 로그입니다.

설정해야 할 경우 분명히 작동하지 않습니다 xmin = 0. 그러나 적분에 대해 0이 아닌 양의 하한이 있으면 xvs적분이 수렴하는 수를 찾기 위해 포인트 수를 가지고 놀 수 있습니다 .