PDE의 강력한 솔루션과 약한 솔루션

PDE의 강력한 형태는 알려지지 않은 용액이 에 속해야합니다 . 그러나 약한 형태는 알려지지 않은 용액이 H 1에 속하기 만하면됩니다 .$H^2$$H^1$

이것을 어떻게 조정합니까?

푸 아송 방정식의 간단한 경우에서 살펴 보자

$$-\Delta u = f \tag{1}$$ 도메인에 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 균질 디리클레 조건과 함께 $$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$$ 경계에 $\partial\Omega$ 의 $\Omega$ . 우리는 지금까지 $\partial\Omega$ 이 원하는만큼 매끄럽다 고 가정합니다 (예 : $C^\infty$ 함수에 의해 매개 변수화 될 수 있음 ). 이것은 나중에 중요 할 것입니다.

이제 문제는 (순수하게) PDE $(1)$ 를 해석하는 방법 입니다. 일반적으로 이것은 미분 $\Delta$ 을 해석하는 방법으로 답변 되지만, 우리의 목적을 위해 방정식 을 해석하는 방법에 초점을 두는 것이 좋습니다 .

1. PDE는 $(1)$ 홀드로 가정 마다 용 점별 $x\in\Omega$ . 이를 이해하려면 오른쪽 $f$ 가 연속적이어야합니다. 그렇지 않으면 점별 값 $f(x)$ 대해 말할 수 없습니다 . 이 수단 용액 제 (고전) 유도체 것을 $u$ 즉 연속이어야이, 우리가 봐야 $u\in C^2(\Omega)$ .
   
   함수 $u\in C^2(\Omega)$ 를 만족하는 $(1)$경계 조건 $(2)$ 과 함께 포인트 단위로 고전적인 솔루션 (때로는 불행하게도 강력한 솔루션 )이라고합니다.

2. $f$ 가 연속적 이어야 한다는 요구 사항은 실제 적용에는 너무 제한적입니다. 우리는 가정하면 $(1)$ 홀드에 거의 모든에 대한 점별 $x\in \Omega$ (즉, 사방 르 베그 측정 제로의 세트 제외), 우리는 멀리 얻을 수 있습니다 $f\in L^2(\Omega)$ . 제 유도체 함수임을 수단이 $L^2$ 우리가 가지고 있다면, 어떤 의미 약한 유도체 따라서 찾는다 $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ . (연속적이지 않은함수$u$ 경우, 경계 조건$(2)$ 포인트단위로취할 수 없습니다.$\partial \Omega$ 은$\bar\Omega$ 의 하위 세트로 Lebesgue 측정 값이 0이므로거의 모든 포인트가 의미가 없습니다.)
   
   함수$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ 거의 모든 곳에서$(1)$ 포인트 단위로만족시키는것을강력한 솔루션이라고합니다. 그러한 해결책이 존재하고 독특하다는 것을 보여주는 것이 일반적으로 필요하고 사소하지 않다는 점에 유의하십시오 (여기서는 예입니다).

3. 약한 파생 상품을 이미 다루고 있다면 $f$ 대한 가정을 더 완화 할 수도 있습니다 . 우리가 걸리는 경우 $(1)$ int로서 대기로 추상 조작 식 $H^{-1}(\Omega)$ 의 이중 공간 $H^1_0(\Omega)$ , 이것은 모든 말이 $f\in H^{-1}(\Omega)$ 이다 (이는 $L^2(\Omega)$ 보다 큰 공간 ). 이중 공간과 약한 미분의 정의에 의해 거의 $(1)$이러한 의미에서 변동 방정식 과 동일합니다.

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   함수$u\in H^1_0(\Omega)$을 만족하는 것을$(3)$ 착신되는약한 용액. 다시 말하지만, 그러한 해결책이 존재하고 독특하다는 것을 보여주는 것이 일반적으로 필요하고 사소하지 않습니다 (이 예제의 경우).

이제는 고전 파생 상품도 약한 파생 상품이므로 모든 고전 솔루션도 강력한 솔루션입니다. 마찬가지로 $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$ 임베드 하면 모든 강력한 솔루션도 약한 솔루션입니다. 다른 방향은 더 미묘합니다.

• $(3)$ 에 f ∈ L 2 ( Ω ) 대신 $u\in H^2(\Omega)$ 를 충족시키는 고유 한 솔루션이있는 경우 ( 약한 H - 1 ( Ω ) 대신 ) 약한 솔루션도 강력한 솔루션입니다. 을 위해 N = 2 또한,이 경우에 보낸 고전 용액 H 2 ( Ω ) 에 매립 C ( ˉ Ω ) ). 이 속성은 때때로$f\in L^2(\Omega)$$H^{-1}(\Omega)$$n=2$$H^2(\Omega)$$C(\bar\Omega)$최대 (타원) 규칙 성경계 $\partial\Omega$ (및 경계 데이터)이 충분히 매끄럽다 고 가정하면 포아송 방정식을 유지합니다 . (이것은 위의 가정이 나오는 곳입니다.)

• 그렇지 않으면, $f\in L^2(\Omega)$ 조차도 PDE가 약한 용액이지만 강하지 않은 용액을 가질 수 있습니다.

• $H^1_0(\Omega)$$H^2(\Omega)$보다 복잡한 비선형 방정식; 예 : http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ 참조 )