PDE 역 문제에서 점별 대 연속 관측

나는 박사 학위에 대한 역의 문제를 연구하고 있습니다. 단순화하기 위해 우리가 말할 것이다 연구는 결정하는 에$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

일부 관찰로부터 ; k 0 은 상수이고 f 는 알려져 있습니다. 이것은 일반적으로 극단화를위한 최적화 문제로 공식화됩니다.$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

여기서 는 라그랑주 승수입니다. β에 대한 J 의 함수 도함수 는 인접 방정식을 풀어 계산할 수 있습니다.$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

일부 규칙적인 기능성 은 일반적인 이유로 문제에 추가됩니다.$R[\beta]$

여기 무언 가정 관측 데이터이다 도메인에 걸쳐 연속적으로 정의 Ω . 내 문제가 대신 사용하는 것이 더 적절할 수 있다고 생각합니다.$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

이것은 인접한 방정식이

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

내가 연구하고있는 특정 문제와 관련하여 또는 문헌의 역 문제에서 연속적 또는 포인트 단위 측정을 가정하는 것에 대한 비교를 찾을 수 없습니다. 예를 들어 여기 에서 초기 규칙 성 문제에 대한 언급없이 포인트 단위로 측정하는 경우가 종종 있습니다 . 연속 측정과 포인트 측정의 가정을 비교 한 출판 된 연구가 있습니까? 포인트 단위의 델타 함수에 대해 걱정해야합니까?

이 필드의 측정은 종종 얼룩이 있거나 청크가 없습니다. 왜 피할 수 있다면 모호한 충실도의 연속적인 필드를 얻기 위해 보간해야합니까?

당신은 완벽하게 맞습니다. 대부분의 경우 전체 도메인을 다루는 연속 필드에 대한 보간은 옵션이 아닙니다. 선택된 도메인 위치에서만 측정 (포인트 소스)을 사용할 수있는 날씨 예측 문제에 대해 생각해보십시오. "실제"역의 문제를 고려할 때 포인트 단위 데이터는 예외보다 더 일반적입니다.

필자의 최선의 추측은 목표 기능이 실제 필드가 아닌 모든 필드에 대한 유한 요소 근사화 ( discretize-then-optimize ) 로 정의 된 다음 이후 ( discret-then-discretize ) 이산되어야 한다는 것입니다 .

두 가지 접근 방식은 동일하지 않습니다 (매우 간단한 문제 제외). 두 가지 접근법 (각각의 장점과 단점이 있음)을 비교하는 방대한 문헌이 있습니다. 맥스 건즈 버거의 논문 (특히 2 장의 끝)에 대해 말씀 드리겠습니다 .

연속 측정과 포인트 측정의 가정을 비교 한 출판 된 연구가 있습니까? 포인트 단위의 델타 함수에 대해 걱정해야합니까?

소스 용어를 정확하게 표현할 수 있습니다. 즉, 소스 용어는 Dirac 분포 [ Arraya et al., 2006 ] 로 모델링 되거나 (일부와 같이) 정규화 된 함수로 소스 용어를 근사화 할 수 있습니다. 예를 들어, 침지 경계 방법에서 ). Hosseini et al.의 최근 논문 을 살펴보십시오 . (및 그 참조).

@GoHokies의 답변을 확장하려면 : 규칙적인 질문에 관심이 있다면 "점 측정"이 실제로 무엇인지 물어볼 수도 있습니다. 실제로는 "점"에서 아무것도 측정 할 수 없습니다. 오히려, 당신은 항상 어떤 종류의 시공간 덩어리에 대해 어떤 종류의 평균을 얻을 것입니다. 온도계는 점이 아니라 확장 된 물체이며 주위의 매체 온도에 적응하는 데 시간이 걸립니다. 농도 측정 장치에는 유한 샘플 크기가 필요합니다. 기타

이것이 수학적으로 의미하는 것은 함수의 델타 함수가 실제로 충분히 작은 영역 및 / 또는 시간 간격에 걸쳐 평균이라는 것입니다. 결과적으로, 이중 방정식의 오른쪽도 유한하며 규칙적인 문제가 발생하지 않습니다.

물론 실제로 유한 요소 메쉬로 측정하는 작은 공간 또는 시간 간격을 해결할 수는 없습니다. 즉, 당신이 해결할 수있는 길이 스케일에, 오른쪽은 않는 모양 단수를, 결과적으로 그렇게 솔루션을한다. 그러나 이미 불연속 화 오류가 발생 했기 때문에 동일한 무게를 가진 불연속 근사로 측정하는 볼륨의 특성 기능을 정규화 할 수도 있습니다. 올바르게 수행하면 (이산) 이중 방정식에 대해 완벽하게 멋진 오른쪽 함수를 수신 할 수있는 이산화 오차보다 크지 않은 오차가 발생합니다.