해결

행렬 와 있습니다. 는 드문 드문하고 매우 큰 이며 (수백만 정도일 수 있습니다.) 는 이 작은 높이 행렬 ( )이며 각 열은 하나만 가질 수 있습니다. , 나머지는 존재와 엔트리 '이되도록, s의 . 는 거대하기 때문에 반전하기가 정말 어렵고 와 같은 선형 시스템을 해결할 수 있습니다 $A$ $G$ $A$ $n\times n$ $n$ $G$ $n\times m$ $m$ $1 \lt m \lt 1000$ $1$ $0$ $G^TG = I$ $A$ 와 같은 Krylov 부분 공간 방법을 반복적으로 사용하지만명시 적으로 이 없습니다. $Ax = b$ $\mathrm{BiCGStab}(l)$ $A^{-1}$

형식의 시스템을 풀고 싶습니다. 여기서 와 는 길이의 벡터입니다. 이를 수행하는 한 가지 방법은 반복 알고리즘 내에서 반복 알고리즘을 사용 하여 외부 반복 알고리즘의 각 반복에 대해 을 푸는 것입니다 . 그러나 이것은 계산 비용이 많이 듭니다. 이 문제를 해결하는 데 더 쉬운 계산 방법이 있는지 궁금합니다. $(G^TA^{-1}G)x = b$ $x$ $b$ $m$ $A^{-1}$

— 코스 티스
소스

방금 0-1 구조를 악용하는 것에 대한 발언을 추가했습니다.

— Arnold Neumaier

답변:

벡터의 도입 큰 결합 시스템 및 해결 , 대 반복적 인 방법을 사용하여 동시에있다. 가 대칭 인 경우 (명시 적으로 언급하지 않더라도) 시스템은 대칭입니다 (그러나 이면 $y:=-A^{-1}Gx$ $Ay+Gx=0$ $G^Ty=-b$ $(y,x)$ $A$ $A$ 적절한 양의 방법을 선택하는 데 도움이 될 수 있습니다. (관련 키워드 : KKT 매트릭스, 준 변량 매트릭스).

편집 : 는 복잡한 대칭이므로 증강 행렬도 마찬가지이지만 사변형은 없습니다. 그러나 루틴을 사용하여 를 계산할 수 있습니다 ; 따라서 QMR ftp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam92-19.pdf 와 같은 방법을 적용 할 수 있습니다 (실제 시스템 용으로 설계되었지만 옮김 위치) 문제를 해결하십시오. $A$ $Ax$ $A^*x=\overline{A\overline x}$

Edit2 : 실제로, 의 (0,1) 구조 는 의 성분을 기호로 기호로 제거 하여 더 작은 시스템으로 해결할 수 있음을 의미합니다. 이것은 의 구조를 망쳐 놓는 것을 의미하며 가 선형 연산자가 아닌 희소 형식으로 명시 적으로 주어진 경우에만 지불합니다 . $G$ $x$ $G^Ty$ $A$ $A$

— 아놀드 노이 마이어
소스

고맙습니다! A는 복잡한 대칭입니다. 증강 된 매트릭스의 상태가 원래의 매트릭스

의 상태보다 더 나빠질 것으로 예상되는 이유가 있습니까? m이 작 으면, 증가 된 행렬의 크기는 A보다 조금 더 크므로,이 증가 된 시스템을 반복적으로 해결하는 것이 A로 시스템을 해결하는 것보다 훨씬 더 강하지 않아야한다고 생각합니까?

A

$A$

— Costis

두 시스템의 조건 번호는 일반적으로 관련이 없습니다. 그것은

가 무엇인지에 달려 있습니다. -복잡한 대칭을 이용하는 방법에 대한 답변 정보를 추가했습니다.

G

$G$

— Arnold Neumaier

안녕하세요 여러분! 모든 답장을 보내 주셔서 감사합니다. 이 곳은 훌륭합니다! 원래 질문에 대한 확장 : 이제

가 있다고 가정합니다 . 여기서 G와 A는 원래 질문에서와 같은 의미를 갖지만 B는 순위가 부족한 nxn 행렬입니다 ( A)와 동일한 크기이며 전체

는 전체 순위입니다. B의 역함수가 존재하지 않으므로

가질 수 없기 때문에 새로운 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

(G^{T} A^{- H} B A^{- 1} G) x = b

$(G^TA^{-H}BA^{-1}G)x=b$

G^{T} A^{- H} B A^{- 1} G

$G^TA^{-H}BA^{-1}G$

A B^{- 1} A^{H}

$AB^{-1}A^H$ . 나는 그것이 B의 의사 역수로도 간단하게 작동한다고 생각하지 않습니다.

— Costis

소개

와

및 케이스 밖으로 일 유사 진행. (아마도

를 풀 랭크 행렬로 분해하고 추가 중간 벡터를 도입 해야 할 수도 있습니다 .)

y := A^{- 1} G x

$y:=A^{-1}Gx$

z := A^{- H} B y

$z:=A^{-H}By$

B

$B$

— Arnold Neumaier

아놀드 고마워, 이것은 실제로 작동합니다! 아주 작은 테스트 예제로 테스트했으며 훌륭하게 작동합니다. 그러나 내 반복 솔버는 증강 행렬을 반전시키는 데 큰 문제가 있습니다. 원래 A 행렬을 사용하여

형식

시스템을 해결하는 데 약 80 회의 반복 (몇 초)이 걸리지 만 , 확장 된 행렬이있는 시스템 (2n + mx 2n + m 또는 2n-mx 2n- @ wolfgang-bangerth의 접근 방식을 사용하는 m은 하나의 RHS를 해결하기 위해 수만 번의 반복 (몇 시간)이 걸립니다. 컨버전스를 가속화하기위한 전략이 있습니까? 아마도 전제 조건일까요?

A x = b

$Ax=b$

— Costis

Arnold의 답변에 따라 문제를 단순화하기 위해 할 수있는 일이 있습니다. 구체적으로 시스템을 다시 . 그러면 문으로부터 유의 높이 좁고 각 행은, 그렇지 않으면 다음 명령문 하나만 1과 0을 갖는 수단이 요소의 서브 세트 고정 된 값, 즉 요소를 가지고 . $Ay+Gx=0, G^Ty=-b$ $G$ $G^Ty=-b$ $y$ $-b$

단순화를 위해 에 개의 열과 행이 있고 정확히 첫 번째 개의 행에 1 행이 있고 의 요소를 재정렬하여 가 항등 행렬을 맨 위에 갖도록 할 수 있다고 가정하겠습니다. 및 바닥에서의 제로 매트릭스. 그런 다음 를 "constrained"및 "free"요소로 분할 할 수 있습니다. $G$ $m$ $n$ $m$ $x$ $G$ $m \times m$ $n-m \times m$ $y=(y_c,y_f)$ $m$ $n-m$ . 되도록 를 분할 할 수도 있습니다. 방정식 에서 다음을 얻습니다. $y_c=-b$ $A$ $A=\begin{pmatrix} A_{cc} & A_{cf} \\ A_{fc} & A_{ff} \end{pmatrix}$ $Ay+Gx=0$ 그리고우리가 에 대해 아는 것을 사용하여이 방정식 중 두 번째 방정식 로부터 결과적으로 다시 말해, 반전해야하는 유일한 행렬은 의 부분 집합입니다

A_{c c} y_{c} + A_{c f} y_{f} + x = 0, A_{f c} y_{c} + A_{f f} y_{f} = 0

$A_{cc} y_c + A_{cf} y_f + x = 0, \\ A_{fc} y_c + A_{ff} y_f = 0$

y_{c}

$y_c$

A_{f f} y_{f} = A_{f c} b

$A_{ff} y_f = A_{fc} b$

x = A_{c c} b - A_{c f} A_{f f}^{- 1} A_{f c} b .

$x = A_{cc} b - A_{cf} A_{ff}^{-1} A_{fc} b.$

A

$A$ 그 열과 행에서 언급되지 않은

(의 널 공간

). 이를 쉽게 수행 할 수 있습니다 : (i)

계산 ; (ii) 해결해야하는 모든 솔버를 사용하십시오

; (iii)

합니다.

G

$G$

G

$G$

z = A_{f c} b

$z=A_{fc} b$

A_{f f} h = z

$A_{ff} h = z$

x = A_{c c} b - A_{c f} h

$x = A_{cc} b - A_{cf} h$

다시 말해, 의 구조로 인해 선형 시스템을 푸는 것은 로 단일 선형 시스템을 푸는 것보다 더 어렵지 않습니다 . $G$ $A$

— 볼프강 뱅 거스
소스

그러나 우리는 알고 , 및 그래서, $G$ $G^T$ $A$

$G^T A^{-1} G x = b$

$G G^T A^{-1} G x = G b$

이후 , 다음 , 그래서 : $G^T G = I$ $G^T = G^{-1}$ $G G^T=I$

$A^{-1} G x = G b$

$A A^{-1} G x = A G b$

$G x = A G b$

$G^T G x = G^T A G b$

$x = G^T A G b$

$G$ $A$ $b$

— 필 H
소스

G^{T}

$G^T$

G

$G$

G = e_{1}

$G=e_1$

G^{T} = e_{1}^{T}

$G^T=e_1^T$

G G^{T} = e_{1} e_{1}^{T} \neq I

$GG^T=e_1e_1^T\neq I$

G \in C^{n} \otimes C^{m}

$G\in \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^m$

G^{T} G = I_{m \times m}

$G^TG=I_{m\times m}$

G G^{T} \neq I_{n \times n}

$GG^T\ne I_{n\times n}$