메쉬 의존적 안정성을 가진 요소의 유용성

3D Stokes 문제에서 요소의 안정성과 관련된 수학을 수행 한 후 이 임의의 4 면체 메쉬에 대해 안정적이지 않다는 것을 깨닫기 위해 약간 충격을 받았습니다 . 더 정확하게 말하면, 모든 노드와 4 개의 패싯 중 3 개의 패싯이 Dirichlet 조건이있는 도메인의 경계에있는 요소가있는 경우, 단일 행렬을 얻게됩니다. 스토크 스 시스템의 약한 형태로 결론을 내리는 것은 실제로 사소한 일입니다. $P_2-P_1$

(COMSOL)에 액세스 할 수있는 유일한 상용 Stokes 코드를 테스트했으며 그러한 메쉬를 만들 수있었습니다. 해결을 클릭하면 예상대로 '오류 : 특이 행렬'이 나타납니다. (COMSOL은 크리핑 흐름 모듈에 을 사용한다는 인상을 받았습니다 .) $P_2-P_1$

문제가 다른 구성과 관련이 없다는 것을 추가로 테스트하기 위해 다음 메쉬를 시도하고 모든 것이 예상대로 작동합니다.

질문 : (적응 형 또는 비 적응 형) 메시 생성기에서 이러한 종류의 제약이 고려됩니까? 다양한 연구 논문 에서이 요소가 꽤 인기있는 것으로 보입니다. 이러한 종류의 경계 불안정성은 일반적으로 사용할 방법을 선택할 때 중요하지 않은 것으로 간주됩니까? 더 중요한 것은 안정적인 유한 요소 를 갖는 것이 실제로 무엇을 의미 합니까? 즉, 어떤 종류의 메시 종속 불안정성이 너무 많아서 방법이 나쁘다는 결론을 내릴 수 있습니까?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
소스

재미있는 질문! 내가 아는 한, 이러한 요소는 일반적으로 큐브에서 구조화 된 사면체 메쉬 생성의 결과이며 구조화되지 않은 노드 화 알고리즘이있는 실제 응용 프로그램에서는 작은 역할 만합니다. 나는 얼마 전에 조금 시도했지만 완전히 구조화되지 않은 메쉬를 생성하는 메쉬 생성기로 이러한 메쉬를 생성 할 수 없었습니다. 나는 그들이 과도하게 구속 된 요소를 피하기위한 메커니즘을 사용하고 있다고 생각합니다. COMSOL에 액세스 할 수는 없지만 대부분의 솔버에서는이 요소가 큰 문제를 일으키지 않는다고 생각합니다.

— Christian Waluga 2016 년

이것이 MINI 요소에 문제가 있는지 궁금합니다.

— Daniel Shapero

MINI에는이 문제가 없다고 생각합니다. 단일 내부 DOF는 상황을 저장합니다. 스토크의 고유성 조건은 입니다. 보자 . 선택 여기서 일부 테트라에있는 기포. 이것은 가 국소 상수이며 연속성이 나머지를 처리 한다는 것을 의미 합니다.

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

— knl

이 문제는 삼각형의 모든 정점이 경계에있을 때 2D에서도 발생합니다. 스톡스 문제는 메쉬가 실패 할 수있는 유일한 문제는 아니다하는 의 일부 값 -Laplacian 문제 소자의 제로 기울기를 찾아 실패한다. $p$ $p$

발전기는 일반적으로이를 처리 할 수있는 옵션이 메쉬, 예를 들면 2 차원 메시 생성기 bamg의은 freefem++갖는 -splitpbedge경계에 양단을 갖는 임의의 에지의 중간 노드를 추가하는 옵션. bamg문서 에 따르면 비정형 메쉬 생성 은 이러한 삼각형을 반환 할 수 있습니다 .

— 조이스
소스

2D Stokes의 Taylor-Hood와 같은 경우입니까? 내 직감은 가장자리와 관련된 DOF가 상황을 저장한다고 알려줍니다. 3D Taylor-Hood에서는 패싯과 관련된 DOF가 없으므로 불안정성이 발생합니다.

— knl

당신 말이 맞아요, 그럴 수도 있습니다 Taylor-Hood의 inf-sup 조건에 대한 Verfuhrt의 증거는 이것을 확인하기에 충분히 건설적이지만 지금은 시간이 없다고 생각합니다.

— Joce