(적응?) 함수 플로팅 알고리즘

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특이점을 갖거나 갖지 않는 함수에 대한 표준 2D 그래프를 그리는 알고리즘을 찾고 있습니다. 목적은 "Mini-CAS"를 작성하는 것이므로 사용자가 그래프로 표시하려는 함수 유형에 대한 사전 지식이 없습니다.

이 문제는 매우 오래되었으므로 문헌에 표준 알고리즘이 있어야한다고 생각합니다. 한 번은 Google을 통해 참조를 찾는 데 성공하지 못했습니다.

흥미로운 알고리즘, 즉 "Adaptive function plotting"이라는 " YACAS-Book of algorithms"에서이 알고리즘을 찾았습니다 .

간단히 말해 :

표준 알고리즘이 있습니까?
알려진 플롯하기 어려운 기능을위한 테스트 스위트가 있습니까?
읽을만한 흥미로운 논문은 무엇입니까?

algorithms visualization

— Soegaard
소스

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아마도 "그래프 그리기"대신 "함수 플로팅"으로 문제를 더 잘 이해할 수 있을까요? 처음에 제목을 잘못 해석했습니다 (그래프 이론).

— astrojuanlu

@ Juanlu001 제안 해 주셔서 감사합니다. 제목을 변경했습니다.

— soegaard

2D를 말할 때

와 같은 1 변수 함수를 플로팅하는 것을 의미합니까 , 아니면 2D로 표시된 2 변수 함수 (

)에 관심이 있습니까? 다른 가치?

f (x)

$f(x)$

f (x, y)

$f(x,y)$

— Szabolcs

글쎄, 나는 하나의 변수의 함수를 플로팅하는 것을 의미했다. 그러나 두 변수 설정에서 평가할 포인트를 선택하는 알고리즘에 대해서도 듣고 싶습니다. 나는 색과 음영에 대해 듣고 싶지 않습니다.

— soegaard

2D 기능에 대해서는 내 질문 및 답변을 참조 하십시오 . 내가 한 일은 꽤 제한적이며 임의의 기능에는 잘 작동하지 않습니다. 또한 방법이 제대로 수렴하지 않는 설명에서 누락 된 몇 가지 필수 단계가 있습니다. 메쉬의 각 가장자리 중간에 새로운 샘플링 포인트를 삽입해야 다음 재 삼각 측량에서 사라집니다. (계속)

— Szabolcs

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나는 여기서 GitHub에서 Mathematica의 적응 샘플링 루틴을 구현했습니다 (이것은 단일 C 파일이며 헤더 파일의 소스 트리로 이동합니다). 오래 전에 Mathematica에 대한 큰 책에서 루틴에 대한 설명을 찾았으며 지금은이 구현에 변형을 사용하고 있습니다. 기본적으로 관심 영역에 대해 대략적인 선형 샘플을 수행 한 다음 높은 곡률 영역을 개선하기 위해 되돌아갑니다. 매우 날카로운 일부 기능이 누락되었을 수 있지만 실제로는 매우 드문 경우입니다. 이 파일에는 병렬 버전도 포함되어 있습니다.

— 빅터 리우
소스

1

어떤 책입니까? 내가 연결 한 것입니까? 버전 5와 6 사이에서 구현에서 정확히 어떤 변화가 있는지 알고 있습니까?

— Szabolcs가

1

@Szabolcs : 아니요, 이 책 섹션 4.1.3 에 있다고 생각합니다 . 이 설명은 이전 버전의 Mathematica에 적용됩니다. 최신 버전 (v6부터 시작될 수 있음)은 수직 점근선을 감지하고 플롯에서 가짜 수직선을 제거합니다. 새로운 버전은 불연속성, 정의되지 않은 영역 및 분기 컷을 처리하기 위해 많은 정교한 기호 사전 처리를 수행합니다.

— Victor Liu

당신이 이야기하고있는 상징적 인 전처리를 문서에서 "제외 감지"라고합니다. 로 정의 Exclusions -> None하여 함수 구조를 숨기거나 숨길 수 있습니다 . 이것은 내가 변경에 대해 물었을 때 내가 말한 것이 아닙니다. v5와 v6이 다른 지점에서 샘플링 되었기 때문에 알고리즘에 일부 변경 사항이 있다고 생각합니다. 지금은 다시 비교하기 위해 v5에서 테스트 할 수 없습니다. Plotf[x_?NumericQ] := ...

— Szabolcs가

"Mathematica 그래픽 가이드 북"에는이 문제에 대한 아주 좋은 토론이 포함되어 있습니다. 특히 알고리즘의 단점도 설명했습니다.

— soegaard 2016 년

더 이상 GitHub 파일을 찾을 수 없습니다. 이동 했습니까?

— Andrei

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다른 CAS가이를 수행하는 방법을 알고 있으면 도움이 될 수 있습니다.

$f(x)$ $(x(t), y(t))$ $f(x)$

플로팅 도메인에서 규칙적으로 간격을 둔 점 그리드로 시작하십시오. （Mathematica에는을 (를) 호출하는 횟수를 제어하는 매개 변수가 있습니다 PlotPoints.)
$(x_1, f(x_1)),\; (x_2, f(x_2)),\; (x_3, f(x_3))$ $\frac{x_1+x_2}{2}$ $\frac{x_2+x_3}{2}$
반복 한계에 아직 도달하지 않은 경우 ( MaxRecursionMathematica에서 설정 ) 2 단계부터 반복하십시오.

이 중 일부는 Stan Wagon의 Mathematica in Action 책에서 논의되며 여기에서 Google 도서에서 볼 수 있습니다 .

함수 계산에 많은 비용이 계산되는 횟수를 더 잘 제어하기 위해이 알고리즘을 구현했습니다. 2 단계를위한 Mathematica 코드는 다음과 같습니다.

nd[{points_, values_}] :=
Transpose@{(Drop[points, 1] + Drop[points, -1])/2,
Differences[values]/Differences[points]}

subdivide1d[result_, resolution_, maxAngle_: 10] :=
  Module[
    {deriv, angle, dangle, pos, nf},
    deriv = nd[result\[Transpose]];
    angle = ArcTan[#2] & @@@ deriv;
    dangle = Differences[angle];
    pos = Flatten@Position[dangle, d_ /; Abs[d] > maxAngle/180 Pi];
    pos = Union[pos, pos + 1];
    nf = Nearest[result[[All, 1]]];
    Select[deriv[[pos, 1]], Abs[# - First@nf[#]] > resolution &]
  ]

— 사 볼크 스
소스

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함수 그래프의 MathWorld 웹 페이지 에는 적응 함수 플로팅과 관련이있는 것으로 보이는 여러 논문에 대한 참조가 포함되어 있습니다. 페이지 인용 :

그래프를 작성하는 좋은 방법은 함수가 가장 빠르게 변하는 지역에서 더 많은 점을 나타내는 적응 형 알고리즘을 사용합니다 (Wagon 1991, Math Works 1992, Heck 1993, Wickham-Jones 1994). Tupper (1996)는 알고리즘을 개발했다 ...]

반면에 구글에서 나는 종이를 우연히 발견했다.

www.cs.uic.edu/~wilkinson/Publications/plotfunc.pdf

그것은 도메인과 다른 것들을 올바르게 선택하는 방법을 설명합니다. 나는 그들이 당신에게 도움이되기를 바랍니다.

— 천체
소스

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나는이 주제를 발견하고 이것을 Julia 라이브러리 Plots.jl에 추가하기 위해 개발자 문제 페이지 를 공유해야한다고 생각 했습니다. 우리는 Mathematica의 구현에 대한 노트에서 시작하여 좋은 결과를 얻을 수있는 것을보기 위해 많은 기술을 시도했습니다. 잘라 내기, 간격 끝점에서 정확하게 시작되지 않는 작은 섭동, 재귀 한계 및 이중 메쉬 오류 추정기가 "정확하게"얻기 위해 모두 필요했습니다. 스레드는 또한 구현을위한 오픈 소스 코드를 가리 킵니다. 따라서 약간의 조정이 필요했지만 이러한 기능을 추가하면 스레드에 표시된 것처럼 테스트에 따라 상당히 강력 해졌습니다.

— 크리스 라 카우 카스
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