작은 순위 대각선 업데이트로 시스템 해결

원래 큰 희소 선형 시스템 이 있다고 가정 합니다. 이제 A가 너무 커서 를 분해하거나 분해 할 수 없기 때문에 이 없지만 반복적 인 해법으로 찾은 솔루션이 있다고 가정합니다 .$A\textbf{x}_0=\textbf{b}_0$$A^{-1}$$A$$\textbf{x}_0$

이제 A의 대각선에 작은 순위 업데이트를 적용하고 싶습니다 (대각선 항목 중 일부 변경) : 여기서 는 다음과 같은 대각선 행렬입니다. 대부분 대각선에 0이고 0이 아닌 값이 있습니다. 내가 가진 경우 나는 역에 업데이트를 적용하기 위해 우드 베리 공식을 활용할 수있을 것입니다. 그러나 나는 이것을 사용할 수 없습니다. 전체 시스템을 다시 한 번 해결하는 것 외에는 할 수있는 일이 있습니까? 과 같이 쉽게 수 있는 전제 조건 을 생각 수있는 방법이 있습니까? 그래서 이 적용되는 경우해야 할 모든 것은$(A+D)\textbf{x}_1=\textbf{b}_0$$D$$A^{-1}$$M$$MA_1 \approx A_0$$\textbf{x}_0$$M^{-1}$ 그리고 반복적 인 방법은 몇 / 몇 번의 반복으로 수렴합니까?

1. 이전 반복에서 행렬을 적용한 모든 벡터 및 결과 의 두 행렬 와 의 열에 저장합니다 .$B$$C$$b_j$$c_j=Ab_j$

2. 각각의 새로운 시스템 (또는 특수한 경우 )에 대해 과소 결정된 선형 시스템 대략적으로 해결하십시오 . 행의 하위 집합 (아마도 모두)을 선택하고 밀도가 가장 작은 제곱 방법을 사용합니다. 에서 선택한 부분 만 조립하면됩니다. 그래서 이것은 빠른 조작입니다!$(A+D)x'=b'$$Ax=b'$$D=0$$(C+DB)y\approx b'$$C+DB$

3. 넣어 . 이것은 를 풀기위한 반복을 시작하기에 좋은 초기 근사치입니다 . 추가 시스템을 처리해야하는 경우이 새로운 반복에서 행렬 벡터 곱을 사용 하여 결과 하위 시스템에서 행렬 와 를 확장하십시오 .$x_0=By$$(A+D)x'=b'$$B$$C$

행렬 와 가 기본 메모리에 맞지 않으면 를 디스크에 저장 하고 미리 행의 하위 집합을 선택하십시오. 이를 통해 최소 제곱 시스템을 형성하는 데 필요한 및 의 관련 부분을 핵심으로 유지할 수 있으며 다음 은 코어 메모리를 거의 사용하지 않고 를 한 번 통과하여 계산할 수 있습니다 .$B$$C$$B$$B$$C$$x_0$$B$

행은 전체 문제의 대략적인 이산화에 해당하는 방식으로 선택해야합니다. 총 예상 행렬 벡터 곱셈 수보다 5 배 많은 행을 취하는 것으로 충분합니다.

편집 : 왜 작동합니까? 구성에 의해, 행렬 및 는 의해 관련된다 . 의 열에 걸쳐있는 부분 공간 에 정확한 솔루션 벡터 (드물지만 간단한 상황)가 포함 된 경우 는 일부 대해 형식 입니다. 이것을 정의하는 방정식으로 대체 하면 방정식 됩니다. 따라서이 경우 위의 프로세스는 정확한 해결책 인 시작점 .$B$$C$$C=AB$$B$$x'$$x'$$x'=By$$y$$x'$$(C+DB)y= b'$$x_0=By=x'$

일반적으로 가 의 열 공간에 있을 것으로 예상 할 수는 없지만 , 생성 된 시작 지점 은 선택된 행에 의해 결정된 메트릭에서 가장 가까운이 Cloumn 공간의 지점이 됩니다. 따라서 합리적인 근사치 일 가능성이 높습니다. 더 많은 시스템이 처리됨에 따라 열 공간이 커지고 근사값이 크게 향상 될 것이므로 반복 횟수가 줄어들고 수렴 될 수 있습니다.$x'$$B$$x'$

Edit2 : 생성 된 부분 공간 정보 : Krylov 방법으로 각 시스템을 풀면 두 번째 시스템의 시작점을 얻는 데 사용 된 벡터는 첫 번째 오른쪽의 Krylov 부분 공간에 걸쳐 있습니다. 따라서이 Krylov 하위 공간에 두 번째 시스템의 솔루션에 가까운 벡터가 포함되어있을 때마다 근사값을 얻습니다. 일반적으로 st 시스템 의 시작점을 얻는 데 사용되는 벡터 는 첫 번째 오른쪽 의 Krylov 부분 공간을 포함하는 공간에 걸쳐 있습니다.$(k+1)$$k$