점근 적 기울기를 찾는 수치 알고리즘이 있습니까?

$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$f (x) 의 기능적 형태 $f(x)$가 기본 기능으로 설명 될 수있는 경우조차도 모르겠습니다 .

내 목표는 점근 적 경사 a 의 가능한 최상의 추정치를 얻는 것입니다 $a$. 명백한 조잡한 방법은 마지막 몇 가지 데이터 포인트를 선택하고 선형 회귀를 수행하는 것입니다. 물론 $f(x)$ 가 데이터가있는 x 범위 내에서 "평평하게"평화되지 않으면 부정확합니다 $x$. 명백한 덜 조잡한 방법은 $f(x) \approx \exp(-x)$ (또는 다른 특정 기능 형태)를 모든 데이터를 사용하여 적합하다고 가정하지만 \ exp 와 같이 시도한 간단한 함수 (-x)$\exp(-x)$ 또는 $\dfrac1{x}$ 가 하위 x 의 데이터와 일치하지 않습니다. $x$여기서 $f(x)$크다. 데이터가 점근선에 어떻게 접근하는지에 대한 지식이 부족할 때 더 잘 수행되거나 신뢰 구간과 함께 기울기에 대한 값을 제공 할 수있는 점근선 기울기를 결정하는 알려진 알고리즘이 있습니까?

이러한 종류의 작업은 다양한 데이터 세트 작업에서 자주 발생하는 경향이 있으므로 대부분 일반적인 솔루션에 관심이 있지만 요청에 따라이 질문을 유발 한 특정 데이터 세트에 연결하고 있습니다. 주석에서 설명했듯이 Wynn $\epsilon$ 알고리즘은 내가 알 수있는 한 다소 벗어난 값을 제공합니다. 플롯은 다음과 같습니다.

(높은 x 값에서 약간의 하향 곡선이있는 것처럼 보이지만이 데이터에 대한 이론적 모델은 그것이 비대칭 선형이어야 함을 예측합니다.)

다소 거친 알고리즘이지만 원유 추정에 다음 절차를 사용합니다. 만약 당신이 말했듯이, 를 나타내는 된 가 증가함에 따라 이미 거의 선형 d 다음 Shanks 변환 과 같은 외삽 알고리즘을 사용 하여 차이의 한계를 추정하는 것입니다. 결과는이 점근선 경사의 좋은 추정치입니다.( x i , y i ) x y i + 1 − y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

다음은 Mathematica 데모입니다. Wynn 알고리즘은 Shanks 변환을 편리하게 구현하며 (숨김) 함수로 내장되어 있습니다 . 우리는 기능에 대한 절차를 시도합니다$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

알고리즘이 얼마나 간단한 지 보여줄 수도 있습니다.

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

이 구현은 Weniger의 논문 에서 수정되었습니다 .