난수에 대한 선형 합동 발생기의 품질

다양한 외부 힘에 대해 Langevin 방정식을 시뮬레이션하고 있습니다. C의 출처는 내 결과에 편견 rand()을 stdlib.h가져올 수 있다고 말하면서 Mersenne Twister를 사용하고 있습니다.

그럼에도 불구하고, 선형 합동 발생기가 시뮬레이션에서 어떤 종류의 오류를 유발할 수 있는지 정확히 알고 싶습니다. 이것들은 내가 시도한 것입니다.

• 초평면을보기 위해 3D 랜덤 튜플을 생성합니다. 나는 아무것도 볼 수 없습니다.
• 임의의 숫자로 구성된 큰 벡터의 FFT 수행 Mersenne Twister와의 경우 거의 동일합니다 rand().
• 브라운 운동의 입자에 대한 등분 원리를 확인합니다. 두 통합 업체의 기대 값에 동의 $\langle \text{KE}\rangle=\frac{1}{2}k_BT$자리수 동일한 번호.
• 그들이 힘 2가 아닌 많은 쓰레기통에 얼마나 잘 들어가는 지 확인하십시오. 둘 다 동일한 질적 결과를 제공하지만 아무도 더 나아지지 않습니다.
• 브라운 경로를 보면 분명 이견을 볼 수 $\langle x\rangle = 0$ . 다시 한 번 운이 없다.
• 원 안에 점의 분포. 주변에 채워져 있습니다. 그들 모두와 가장 가까운 이웃 사이 (댓글에서 아래의 답변). 이 요지 에서 사용할 수 있으며 필요한 라이브러리를 설치 한 후 Julia 0.5.0으로 실행하십시오 (지침은 요지 참조).

나는 물리적 시뮬레이션의 맥락에서 도입 된 편견을 찾고 있음을 강조하고 싶습니다. 예를 들어, rand()Mersenne Twister는 그렇지 않지만 지금은 그다지 의미가없는 순간에 다 이하 드러 테스트가 얼마나 비참하게 실패 하는지 보았습니다 .

불량 난수 생성기가 어떻게 몬테카를로 (Montecarlo) 시뮬레이션을 파괴하는지에 대한 물리적이고 구체적인 예가 있습니까?

참고 : PRNG와 같은 RANDU것이 얼마나 끔찍한 지 보았습니다 . 나는 무해 해 보이지만 궁극적으로 편견을 유발하는 발전기의 명백한 예는 아닙니다.

부적절한 RNG로 인한 물리적 시스템의 Monte Carlo 시뮬레이션 실패를 설명하는 흥미로운 참고 문헌은 (LCG를 사용하지 않았지만) 다음과 같습니다.

A. Ferrenberg와 DP Landau. Monte Carlo Simulations : "좋은"난수 생성기의 숨겨진 오류. 물리적 검토 서신 63 (23) : 3382-3384, 1992.

Ferrenberg와 Landua가 연구 한 Ising 모델은 RNG에 대한 훌륭한 테스트입니다. (2 차원 문제의 경우) 정확한 솔루션과 비교하고 숫자에서 벗어나는 오류를 찾을 수 있기 때문입니다. 이러한 모델은 구식 32 비트 산술 PMMLCG에서 오류를 너무 어렵게 보여 주어야합니다.

또 다른 흥미로운 참조는 다음과 같습니다.

H. Bauke와 Stephan Mertens. Pseudo Random Coin은 꼬리보다 더 많은 머리를 보여줍니다. arXiv : cond-mat / 0307138 [cond-mat.stat-mech]

Bauke와 Mertens는 이진 선형 피드백 시프트 레지스터 스타일 난수 생성기에 대해 강력한 사례를 제시합니다. Bauke와 Mertens는 이와 관련된 다른 논문을 가지고 있습니다.

3D 산점도에서 Marsaglia 평면을 찾기가 어려울 수 있습니다. 플롯을 회전하여 더 잘 볼 수 있으며 때로는 눈에 띄게 나타납니다. 구형 32 비트 LCG에 대해 통계적 균일성에 대한 3D 테스트를 수행 할 수도 있습니다. 예를 들어, 3 차원으로 20x20x20 격자의 빈을 갖는 균일 성 시험은 m = 2 ^ 31-1, a = 7 ^ 5를 갖는 널리 사용되는 (및 이전에 잘 알려진) PMMLCG에 대한 균일 성의 결여를 검출하기에 충분하다.

어떤 테스트 가 실패 했는지 확인 하기 위해 TestU01 PRNG 테스트 스위트 를 사용할 수 있습니다 . ( 테스트 스위트에 대한 개요는 TestU01 : 난수 생성기의 경험적 테스트를위한 AC 라이브러리를 참조하십시오 .) 이는 자신의 Monte Carlo 시뮬레이션을 만드는 것보다 쉽습니다. 어떤면에서 그것은 소프트웨어 구성 성 (그리고 소프트웨어 정확성)에 관한 문제이기도합니다. PRNG가 작고 간단한 테스트에서 잘 작동하는 것처럼 보이면 병리학 적 행동이 더 큰 프로그램에 의해 유발되지 않는다는 것을 어떻게 알 수 있습니까?rand

코드는 다음과 같습니다.

#include "TestU01.h"

int main() {
  // Same as rand() on my machine
  unif01_Gen* gen = ulcg_CreateLCG(2147483647, 16807, 0, 12345);

  bbattery_SmallCrush(gen);
  bbattery_Crush(gen);

  return 0;
}

를 들어 SmallCrush의 스위트, 15 밖으로 실패 3 개 시험이있다 (참조 guidelongtestu01.pdf 긴 설명과 모든 참조를 TestU01의를,이 10 개 테스트에서 15 개 통계이다).

• $n$ $t$$d^t$$d^t$$I_1,\ldots$$\{I_{j+1}-I_j\}$

• $n$ $t$$[0,1)^t$$d^t$

• MaxOft : 생성합니다.$n$$t$$[0,1)$$X$$n$$\mathbb{P}(X<x) = x^t$$n=2\times 10^6$$t=6$$\chi^2$$<10^{-300}$

이것들이 모두 "일반적인"몬테카를로 시뮬레이션이라고 가정하면 (이것은 생각했던 문제와 같지 않을 수도 있지만) 결론은 rand알려지지 않은 부분 집합에 실패 한다는 결론입니다 . 왜 그것이 왜 그 하위 집합인지는 모르겠습니다. 그래서 그것이 자신의 문제에서 작동하는지 여부를 말할 수는 없습니다.

MaxOft 는 설명이 얼마나 간단한 지 감안할 때 특히 의심 스러워 보입니다.

Crush Suite 의 테스트 중 rand140 개 중 51 개가 실패했습니다 (96 개 테스트에서 140 개 통계). Fourier3 와 같은 일부 실패한 테스트 는 비트 문자열에서 수행되므로 아마도 관련이 없을 수도 있습니다. 실패한 또 다른 흥미로운 테스트는 GCD입니다 .이 테스트는 두 개의 임의 정수의 GCD 분포를 테스트합니다. (또,이 특정 테스트가 실패한 이유나 시뮬레이션으로 인해 어려움을 겪을 지 모르겠습니다.)

PS : 아직 주에 다른 것은 즉 rand()성공적으로 모든 통과 일부 PRNG는보다 실제로 느립니다 SmallCrush , 호감 , BigCrush의 같은 테스트, MRG32k3a를 (위의 L' Ecuyer & Simard 종이 참조).