암시 적 표면을 방향 점 세트에 맞추기

13

점 세트와 해당 법선 (또는 이에 상응하는 접선)에 대한 2 차 적합에 관한 질문이 있습니다. 2 차 표면을 점 데이터에 맞추는 방법을 잘 살펴 봅니다. 일부 작품은 다음과 같습니다.

2 차 표면의 유형 제한 직접 피팅 , James Andrews, Carlo H. Sequin 컴퓨터 보조 설계 및 응용, 2013 년 10 월 (a), bbb-ccc
대수 데이터 사절 표면의 피팅 , I. 알 - Subaihi 및 GA 왓슨 던디의 대학

프로젝션 윤곽선에 대한 피팅도 이와 같은 일부 작업으로 덮여 있습니다.

이 모든 작품에서, 타 우빈의 Quadric 피팅 방법은 꽤 인기가 있다고 생각합니다.

G. 타 우빈, "가장자리 및 범위 이미지 분할에 대한 응용을 갖는 암시 적 방정식에 의해 정의 된 평면 곡선, 표면 및 비평면 공간 곡선의 추정 ", IEEE Trans. PAMI, Vol. 1991 년 13 월, pp1115-1138.

간단히 요약하겠습니다. 2 차 $Q$ 는 대수 형태로 쓸 수 있습니다 :

에프 (씨, 엑스) = ㅏ {엑스}^{2} + 비 {와이}^{2} + 씨 지^{2} + 2 디 엑스 와이 + 2 이자형 엑스 지 + 2 에프 와이 지 + 2 지 엑스 + 2 H 와이 + 2 나는 지 + 제이

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ 여기서

c

$\mathbf{c}$ 는 계수 벡터이고

x

$\mathbf{x}$ 는 3D 좌표입니다.

이면모든 점

x

$\mathbf{x}$ 는 2 차

Q

$Q$ 에 있습니다.여기서

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$

큐 = [\begin{matrix} ㅏ & 디 & 이자형 & 지 \\ 디 & 비 & 에프 & H \\ 이자형 & 에프 & 씨 & 나는 \\ 지 & H & 나는 & 제이 \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

대수 적합 원칙적으로, 우리는 점과 2 차 표면 사이의 제곱 된 기하학적 거리의 합을 최소화하는 매개 변수를 풀고 싶습니다. 불행히도, 이것은 알려진 분석 솔루션이없는 볼록하지 않은 최적화 문제라는 것이 밝혀졌습니다. 대신, 표준 접근법은 대수적 적합을 해결하는 것입니다. 즉, 최소화 하는 모수 $\mathbf{c}$ 를 해결 하는 것입니다.

\sum_{나는 = 1}^{엔} 에프 (씨, {엑스}^{나는})^{2} = 씨^{티} 미디엄 씨

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ with

미디엄 = \sum_{나는 = 1}^{엔} 엘 ({엑스}^{나는}) 엘 ({엑스}^{나는})^{티}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ 여기서

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ 는 점 구름의 점입니다.

엘 = [{엑스}^{2}, {와이}^{2}, 지^{2}, 엑스 와이, 엑스 지, 와이 지, 엑스, 와이, 지, 1]^{티}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

이러한 직접 최소화는 원점에 $\mathbf{c}$ 가 포함 된 사소한 해를 산출합니다 . 이 질문은 문헌에서 광범위하게 연구되었습니다. 실제로 잘 작동하는 것으로 확인 된 한 가지 해결책은 제약 조건을 소개하는 Taubin의 방법입니다 (위 참조).

” \nabla_{엑스} 에프 (씨, {엑스}^{나는}) ”^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

이것은 다음과 같이 해결 될 수 있습니다 : Let :

엔 = \sum_{나는 = 1}^{엔} 엘_{엑스} ({엑스}^{나는}) 엘_{엑스} ({엑스}^{나는})^{티} + 엘_{와이} ({엑스}^{나는}) 엘_{와이} ({엑스}^{나는})^{티} + 엘_{지} ({엑스}^{나는}) 엘_{지} ({엑스}^{나는})^{티}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$ 여기서 첨자는 미분을 나타낸다. 이 용액을, 일반화 된 고유치 분해에 의해 주어진다

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$ 입니다. 가장 적합한 모수 벡터는 가장 작은 고유 값에 해당하는 고유 벡터와 같습니다.

주요 질문 많은 응용 프로그램에서 점 구름의 법선을 사용할 수 있습니다 (또는 계산). 2 차 $\mathbf{N}(x)$ 의 법선은 암시 적 표면을 미분하고 정규화하여 계산할 수도 있습니다.

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$ 여기서

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

그러나 Taubin의 방법은 탄젠트 공간이 아닌 점 형상 만 사용합니다. 그리고 나는 이차의 탄젠트가 기본 점 구름의 탄젠트와 일치하도록 사차를 피팅하는 데 적합한 많은 방법을 알지 못합니다. 위의 방법의 잠재적 인 확장 또는 이러한 1 차 파생 상품을 포괄 할 수있는 다른 방법을 찾고 있습니다.

내가 달성하고자하는 것은 더 원시적 인 표면 (곡선) 유형으로 낮은 차원 공간에서 부분적으로 처리 될 수 있습니다. 예를 들어 그라디언트 정보를 고려하여 이미지 가장자리에 선을 맞추는 방법은 여기에서 다룹니다 . 3D 구름에 대한 평면 (단순 유형의 2 차)을 피팅하는 것은 매우 일반적 이거나 ( 링크 1 ) 또는 맞춤 구 또는 실린더를 방향 점 세트 ( 링크 2 )에 맞출 수 있습니다 . 제가 궁금하게 생각하는 것은 비슷한 것이지만, 적합 된 기본 요소는 2 차입니다.

또한 다음과 같은 제안 된 방법의 분석을 환영합니다.

필요한 최소 오리엔테이션 포인트는 얼마입니까?
퇴화 사례는 무엇입니까?
견고성에 대해 말할 수 있습니까?

업데이트 : 따라야 할 방향을 제시하고 싶습니다. 공식적으로, 내가 달성하고자하는 것 :

” \nabla 에프 - 엔 ” = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$

x

$\mathbf{x}$ 지점에서

입니다. 어쩌면 Taubin의 방법으로 융합하여 추가 제약 조건을 제시하고 Lagrange multipliers를 사용하여 최소화 할 수 있습니까?

— 툴가 버드
소스

Q에서 많은 Q 요소가 잘못 배치되지 않았습니까?

— Museful

당신 말이 맞아요. 이제 고쳤습니다.

— Tolga Birdal 2016

5

위의 질문에 대한 만족스러운 답변을 얻지 못한 것에 놀랐고 조사 결과에 따르면 이것이 실제로 탐험되지 않은 영역이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 나는이 문제에 대한 해결책을 개발하기 위해 약간의 노력을 기울이고 다음과 같은 사본을 출판했다.

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic 및 P. Sturm. "점 구름에서 이차의 유형에 구애받지 않는 검출에 대한 미니멀 한 접근 방식." 컴퓨터 비전 및 패턴 인식에 관한 IEEE 회의 절차. 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_paper.html

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic 및 P. Sturm, "패턴 분석 및 머신 인텔리전스에 대한 IEEE 트랜잭션의"최소의 최소 4 차 피팅을 사용하는 포인트 클라우드에서의 일반적인 기본 감지 ". https://arxiv.org/abs/1901.01255

여기서 주요 아이디어를 간단히 살펴 보겠습니다.

$\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla 큐 ({엑스}_{나는})}{” \nabla 큐 ({엑스}_{나는}) ”} - 엔_{나는} = 0 또는 \frac{\nabla 큐 ({엑스}_{나는})}{” \nabla 큐 ({엑스}_{나는}) ”} \cdot 엔_{나는} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla 큐 ({엑스}_{나는}) = \nabla V_{나는}^{티} 큐 = α_{나는} 엔_{나는} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

V = {[\begin{matrix} {엑스}^{2} & {와이}^{2} & 지^{2} & 2 엑스 와이 & 2 엑스 지 & 2 와이 지 & 2 엑스 & 2 와이 & 2 지 & 1 \end{matrix}]}^{티}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$ 모든

N

$N$ 포인트

x_{i}

$\mathbf{x}_i$ 및 법선

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} V_{1}^{티} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ V_{2}^{티} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ V_{엔}^{티} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla V_{1}^{티} & - 엔_{1} & 0_{삼} & \dots & 0_{삼} \\ \nabla V_{2}^{티} & 0_{삼} & - 엔_{2} & \dots & 0_{삼} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla V_{엔}^{티} & 0_{삼} & 0_{삼} & \dots & - 엔_{엔} \end{matrix}] [\begin{matrix} ㅏ \\ 비 \\ ⋮ \\ 나는 \\ 제이 \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{엔} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

$\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} {엑스}_{1}^{2} & {와이}_{1}^{2} & 지_{1}^{2} & 2 {엑스}_{1} {와이}_{1} & 2 {엑스}_{1} 지_{1} & 2 {와이}_{1} 지_{1} & 2 {엑스}_{1} & 2 {와이}_{1} & 2 지_{1} & 1 \\ {엑스}_{2}^{2} & {와이}_{2}^{2} & 지_{2}^{2} & 2 {엑스}_{2} {와이}_{2} & 2 {엑스}_{2} 지_{2} & 2 {와이}_{2} 지_{2} & 2 {엑스}_{2} & 2 {와이}_{2} & 2 지_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 {엑스}_{1} & 0 & 0 & 2 {와이}_{1} & 2 지_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 {와이}_{1} & 0 & 2 {엑스}_{1} & 0 & 2 지_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 지_{1} & 0 & 2 {엑스}_{1} & 2 {와이}_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 {엑스}_{2} & 0 & 0 & 2 {와이}_{2} & 2 지_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 {와이}_{2} & 0 & 2 {엑스}_{2} & 0 & 2 지_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 지_{2} & 0 & 2 {엑스}_{2} & 2 {와이}_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} ㅏ \\ 비 \\ 씨 \\ 디 \\ 이자형 \\ 에프 \\ 지 \\ H \\ 나는 \\ 제이 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ 엔_{엑스}^{1} \\ 엔_{와이}^{1} \\ 엔_{지}^{1} \\ 엔_{엑스}^{2} \\ 엔_{와이}^{2} \\ 엔_{지}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

$\mathbf{A}$

— 툴가 버드
소스

대단해! 점과 법선의 상대적 기여도를 다르게 가중시키기 위해 A를 어떻게 수정합니까?

— Museful

n

$\mathbf{n}$

감사. 마지막 방정식에서 전치 기호를 q 및 n에서 제거해서는 안됩니까?

— Museful

다시 감사합니다. 그것들을 제거했습니다.

— Tolga Birdal

1

피팅 절차에서 법선이 포함 된 예를 알고 있습니다. 그러나 직접적인 2 차 피팅은 아닙니다. 국소 적으로 매개 변수화 된 패치가 점과 법선에 적합합니다. 법선을 사용하면 피팅 문제에 더 많은 방정식을 제공하여 고차 다항식을 사용할 수 있습니다.

주 방향 벡터를 근사화하기위한 새로운 입방 알고리즘

— 아빌라시 레디 M
소스

0

이 백서 참조

방사형 기저 함수를 사용한 암시 적 표면의 은자 보간

ist 확장

은둔 방사형 기초 함수 암시 적

— lhf
소스