어느 삼각형 점이 있는지 찾기

겹치지 않는 삼각형 로 구성된 2D 메쉬 와 점 집합 { p i } M i = 1 ⊂ ∪ N k = 1 T K로 가정 합니다. 각 점이 어느 삼각형에 있는지 결정하는 가장 좋은 방법은 무엇입니까?$\{T_k\}_{k=1}^N$$\{p_i\}_{i=1}^M \subset \cup_{k=1}^N T_K$

예를 들어, 다음 이미지 우리가 , P (2) ∈ T (4) , P (3) ∈ T 2 I 함수 싶다 있도록 F 목록이 반환 F ( P 1 , P 2 , P 3 ) =을 [ 2 , 4 , 2 ] .$p_1 \in T_2$$p_2 \in T_4$$p_3 \in T_2$$f$$f(p_1,p_2,p_3)=[2,4,2]$

Matlab에는 Delaunay 메쉬에 원하는 기능을 수행 하는 함수 점 위치가 있지만 일반 메쉬에는 실패합니다.

나의 첫번째 (바보 같은) 생각은 모든 노드를 들면, , 모든 삼각형을 통해 루프가있는 삼각형 알아 쪽 난 에 그러나 이것은 매우 비효율적이다 -. 당신은 모든 지점에 대한 모든 삼각형을 반복해야 할 수도 있습니다, 그래서 O ( N ⋅ M ) 작업 이 필요할 수 있습니다 .$p_i$$p_i$$O(N \cdot M)$

내 다음 생각은 모든 점 에 대해 가장 가까운 이웃 검색을 통해 가장 가까운 메쉬 노드를 찾은 다음 가장 가까운 노드에 연결된 삼각형을 살펴 보는 것입니다. 이 경우, 작업은 O ( a ⋅ M ⋅ l o g ( N ) ) 일 것입니다. 여기서 a 는 메시의 노드에 연결된 최대 삼각형 수입니다. 이 접근법에는 해결할 수 있지만 성가신 문제가 있습니다.$p_i$$O(a\cdot M\cdot log(N))$$a$

• 효율적이지 않은 이웃 검색을 구현하거나 라이브러리가있는 라이브러리를 찾는 것이 중요합니다. 이는 사소한 작업이 아닙니다.
• 각 노드에 부착 된 삼각형 목록을 저장해야합니다. 내 코드는 현재 설정되어 있지 않습니다. 지금 노드 좌표 목록과 요소 목록 만 있습니다.

모두 우아하지 않은 것처럼 보이며 더 좋은 방법이 있어야한다고 생각합니다. 이것은 많은 문제가 발생해야하므로 이론적으로 또는 사용 가능한 라이브러리 측면에서 노드가있는 삼각형을 찾는 가장 좋은 방법을 추천 할 수 있는지 궁금합니다.

감사!

일반적인 랜덤 에지 호핑 방법이 작동합니다. 기본적으로 메쉬의 삼각형으로 시작한 다음 대상 지점의 반대편 가장자리를 결정하십시오. 즉, 선으로 확장 될 때 삼각형의 내부에서 점을 분리하는 모서리를 결정하십시오. 두 가지 가능성이있는 경우 무작위로 하나를 선택하고 해당 공유 모서리에 인접한 삼각형을 고려한 후 반복하십시오. 무작위 화는이 방법이 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)의 확률 1과 수렴하도록해야하며, 임의의 삼각 분할에서는 작동하지 않는 이유를 생각할 수 없습니다.

$O(\log N)$$O(M \log N)$$M$

Edit2 : 종료가 보장되는 "보행"체계를 설명하고보다 순진한 접근 방식을 검토하는 이 PDF 를 찾았습니다 .

쿼드 트리를 사용하는 또 다른 방법은 삼각 측량 계층을 사용하는 것입니다. 올리비에 Devillers를 참조하십시오. 증분 무작위 무작위 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation) 개선. Proc. 14 번째 Annu. ACM 심 포지션. 계산. Geom., 106-115, 1998 쪽을 참조하십시오. 들로네 삼각 분할에는 가장 효과적이지만 들로네가 아닌 곳에서도 사용할 수 있습니다.

기본적으로 포인트 위치를 빠르게하기 위해 보조 데이터 구조를 구성해야합니다. 쿼드 트리 또는 기타 공간 하위 분할의 경우 하위 분할 트리를 작성해야합니다. 에지 호핑의 경우 삼각형 구조를 인접한 토폴로지 구조로 만들어야합니다. 삼각 분할 계층 구조는 또한 더 거친 삼각 분할 트리를 구축해야합니다.

귀하의 솔루션이 실제로 올바른지 확신하지 않습니다. 다음 노드가있는 상황을 고려하십시오.

• A : (-3, 1)
• B : (0, 2)
• C : (3, 1)
• D : (0, -5)

삼각형 ABC와 ACD가 있습니다. 이제 B는 원점에 가장 가까운 점이지만 원점은 B를 포함하지 않는 삼각형 ACD입니다.

$O(N \cdot M)$

삼각형 자체가 포함 된 쿼드 트리 를 만드는 옵션을 고려할 것 입니다. 즉, 각 노드에 저장하는 4 차 트리가 있습니다 (이는 경계 상자에 해당).

• 박스가 분할되는 좌표, 또는 대안 적으로, 4 개의 서브 트리의 경계 박스;
• 서브 트리에 대한 포인터;
• 이 사각형의 경계 상자 안에 완전히 있지만 4 개의 하위 트리에는없는 삼각형 세트입니다. 다시 말해, 쿼드 트리의 두 개의 세분 선 세그먼트와 교차하는 삼각형입니다.

점 P가 주어지면 쿼드 트리의 루트에서 P를 포함하는 가장 작은 상자까지 경로의 모든 노드를 순회합니다. 해당 노드에서 발생하는 모든 삼각형을 검사해야합니다. '잘 동작하는'삼각 분할의 경우 와 같은 것만 있어야합니다.$\sqrt{n}$$n$$\log n$$O(N\cdot M)$

CGAL 은 삼각 측량 및 점 위치를 처리합니다. 특히 2D 삼각 측량 모듈은 원하는 작업을 수행 할 수 있습니다.