부적절한 적분을 어떻게 추정 할 수 있습니까?

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가 유한 하도록 함수 가 적분에 근접하고 싶습니다. $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

직각 규칙과 몬테 카를로 적분의 근사치에 익숙하지만 무한 영역에서 구현하는 데 어려움이 있습니다. 몬테 카를로 사례에서 무한 영역을 샘플링하는 방법은 무엇입니까 (특히 적분에 더 크게 기여하는 영역을 알 수없는 경우)? 구적법의 경우 최적의 점을 어떻게 찾습니까? 원점을 중심으로 임의로 넓은 지역을 수정하고 희소 구적 법칙을 적용해야합니까? 이 적분을 근사화하려면 어떻게해야합니까?

monte-carlo quadrature

— 바울
소스

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한 차원에서, 당신은 대체에 의한 적분을 사용하여 무한 간격을 유한 간격으로 매핑 할 수 있습니다.

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

여기서 는 일부 유한 범위에서 무한대로 변하는 함수입니다 예 : . $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

그런 다음 수정 된 유한 적분에 대해 정규 수치 직교 루틴을 사용할 수 있습니다.

여러 변수의 대체는 약간 까다 롭지 만 여기에 잘 설명되어 있습니다 .

— 페드로
소스

매우 흥미 롭습니다. 대체 가능성조차 고려한 적이 없습니다! 그러나 함수

선택 하면 근사값의 정확도에 영향을 미칩니 까?

u (t)

$u(t)$

— Paul

@Paul : 물론 이죠! 함수

는

를 가능한 한 매끄럽게 유지하기 위해 가능한 한 매끄러 워야하므로보다 정확한 통합이 가능합니다.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

사실이지만, 내가 생각한 것은 u (t)가 무한대로 수렴하는 속도였습니다. 이것도 정확도에 영향을 줍니까?

— Paul

1

@Paul : 귀하의 질문을 올바르게 이해하는지 모르겠지만 기능은 한 지점에서 무한대로 끝나야합니다. 시간이 걸리고 급격히 커지면

에 큰 그라디언트가

통합하기가 더 어려워 정확도에 영향을 줄 수 있습니다.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

1

접선에 대한 파생어가 잘못되었습니다. 나는 그것을 고쳤다.

— JM

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이를 수행하는 표준 방법은 지수 사전 인자 대한 식에서 추출 하여 변환 한 다음이를 가중치로 가우스 구적 법칙 (또는 가우스 크론로드)을 사용하는 것입니다. 경우 부드럽고, 이것은 일반적으로 우수한 결과를 제공합니다. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

에서 , 체중과 같은 작품을 , 적절한 cubature 공식은 엥겔스, 수치 직교 및 cubature에 의해 책에서, 예를 들어, 찾을 수 있습니다. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

온라인 공식은 http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/에 있습니다.

— 아놀드 노이 마이어
소스

2

integrand가 대략 exp (-x ^ 2)이면 잘 작동합니다. 정수가 대략 정상이지만 원점을 중심으로하는 경우이 방법이 제대로 작동하지 않을 수 있습니다.

— John D. Cook

1

@ JohnD.Cook :``지수 사전 추출 요소 추출,

변환 ''을 작성하는 이유는 일반적으로 선형 변환, 중심을 원점으로 이동하는 변환, 회전 및 배율 조정을 포함합니다. 레벨은 대략 구형을 설정합니다. 함수 자체는 정상과는 거리가 멀다.

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

— Arnold Neumaier 2016 년

7

1 차원 구적법의 경우, Quadpack (황금의 구식 이지만 여전히 1 차원 구적법과 매우 관련이 있음)에 관한 책 과 무한 범위의 자동 적분기 인 QAGI 알고리즘에 사용 된 기술을 확인할 수 있습니다.

또 다른 기술은 이중 지수 구적법으로 Ooura에 의해 무한 간격으로 훌륭하게 구현됩니다 .

Cubature의 경우 Ronald Cools 의 Cubature 공식 백과 사전을 참조 할 수 있습니다 .

— 거트
소스

2

이중 지수 구적법은 본질적으로 대체 방법입니다. 무한 범위 적분을 붕괴율이 두 배 지수 인 다른 무한 범위 적분으로 바꾸는 대체물을 만듭니다.

— JM

1

@JM 맞습니다. 그리고 IMT 변환 및 TANH 변환과 마찬가지로 사다리꼴 규칙에 대한 Euler-Mclaurin 합계 수식을 최대한 활용하십시오. 건국의 아버지 중 한 명이 작성한 DE의 역사에 관한 좋은 논문은 여기

— GertVdE

6

$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— 볼프강 뱅 거스
소스

4

Monte Carlo 통합을 사용하려면 대략적인 정수와 비슷한 샘플러로 중요도 샘플링 을 사용하여 시작할 수 있습니다. 표본 추출기가 정수와 더 잘 일치할수록 적분 추정치의 분산이 줄어 듭니다. 샘플러가 동일한 도메인을 가지고있는 한 도메인이 무한한 것보다 중요하지 않습니다.

— 존 디 쿡
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