행렬 값 연속 분수에 대한 효율적인 알고리즘이 있습니까?

재귀 적으로 다음과 같이 정의 된 행렬 방정식이 있다고 가정합니다.

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

그런 다음 A [1]에 대한 방정식은 지루한 재 계산을 피하는 매우 효율적인 방법이있는 연속 분수와 유사합니다 (일부 예는 "수치 레시피"참조).

그러나 계수 b [n] 및 a [n]을 행렬로 만드는 유사한 방법이 있는지 궁금합니다. b [n] A [n + 1]이 정사각 행렬이어야한다는 제약이 있습니다.

1 - b[n]A[n+1]

실제로 뒤집을 수 없습니다.

algorithms

— 라거 바에르
소스

이것은 몇 달 전에 math.SE에서 질문 한 질문입니다. 가

정사각형 또는 직사각형은?

A

$A$

— JM

나는 math.SE의 의견에 누군가가 베타 버전이 온라인 상태가되면 여기에 물어 보라고 제안했습니다 :) 내 특별한 경우, A는 직사각형입니다. 재귀 방정식은 계층 적 방정식 세트에 해당하며 수량은

으로 증가 합니다. 필자의 경우, A [n]의 차원은 nx (n-1)입니다.

n

$n$

— Lagerbaer

궁금한 점이 있습니다.이 응용 프로그램을 사용하려는 응용 프로그램은 무엇입니까?

— Hjulle

간단히 말해 특정 Hamiltonian에 Dyson의 ID를 사용하면 특정 인덱스

레이블을 지정할 수있는 Green의 함수가 생성됩니다 . 벡터로 인덱스와 같은 모든 기능들을 수집

저 쓸 수

다이슨의 ID 및 적절한 근사치를 사용. 너무 상처를 오프 사용

모든

나를 행렬을 찾을 수 있습니다

그래서

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

그리고이 행렬들은 저의 연속 분수 스타일 방정식으로 주어집니다. 이 기술은 예를 들어 타이트 바인딩 모델에 대한 격자 그린의 기능을 계산할 수 있습니다.

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— Lagerbaer

그것은 내 분야가 아니지만이 문제와 관련된 것이 제시 된 세미나에서 잠시 돌아 왔습니다. [여기] [1]은 온라인에서 찾을 수있는 유일한 흔적입니다. 나는 그것이 도움이되는지 정말로 모른다. [1] : mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

답변:

행렬 함수에 다음 두 가지 방법이 제공 됩니다. Nicholas Higham의 이론 및 계산 , 81 페이지

여기서는 정사각 행렬입니다.

아르 자형 (엑스) = 비_{0} + \frac{ㅏ_{1} 엑스}{비_{1} + \frac{ㅏ_{2} 엑스}{비_{2} + \dots + \frac{ㅏ_{2 미디엄 - 1} 엑스}{비_{2 미디엄 - 1} + \frac{ㅏ_{2 미디엄} 엑스}{비_{2 미디엄}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

하향식 방법 :

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

j = 1 : 2 분

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

종료

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

상향식 방법 :

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

j = 2m−1 : −1 : 1의 경우

해결 대 $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$ .

종료

$r_m=b_0I+Y_1$

질문은 더 일반적인 형태의 평가를 요구합니다

비_{0} + \frac{ㅏ_{1} {엑스}_{1}}{비_{1} + \frac{ㅏ_{2} {엑스}_{2}}{비_{2} + \dots + \frac{ㅏ_{2 미디엄 - 1} {엑스}_{2 미디엄 - 1}}{비_{2 미디엄 - 1} + \frac{ㅏ_{2 미디엄} {엑스}_{2 미디엄}}{비_{2 미디엄}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

이것은 위의 공식을 간단히 일반화하여 평가할 수 있습니다. 예를 들어 상향식 방법은

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

j = 2m−1 : −1 : 1의 경우

해결 대한 . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

종료

. $r_m=b_0I+Y_1$

— 데이비드 케 치슨
소스

이것은 매우 흥미로운 것 같습니다. 난 내 특정 문제에 적용 할 수 있는지하지만 내 B [N] * A는 [N + 1] 정방 행렬이기 때문에 질문에 대한 답

— Lagerbaer

아,하지만 방금 매트릭스

가 솔루션의 모든 곳에서 동일하다는 것을 알았지 만, 반드시 내 것은 아닙니다.

X

$X$

— Lagerbaer 2013

좋아, 나는 그것을 일반화했다.

— David Ketcheson

나는이 대답이 많은 가정을한다는 것을 알고 있지만 적어도 알고리즘을 일반화합니다.

한다고 가정 , , 상기 시드 행렬 정규 행렬의 고유 값 분해의 통근 가족 모든 형태 및 $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

일단 유도에 의해 분해를 말하면,

V_{엔} = (나는 - 비_{엔} V_{엔 + 1})^{- 1} ㅏ_{엔} = (나는 - 유 Δ_{엔} 유^{'} 유 Λ_{엔 + 1} 유^{'})^{- 1} 유 Ω_{엔} 유^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

형태로 재 배열 될 수 있습니다

V_{엔} = 유 (나는 - Δ_{엔} Λ_{엔 + 1})^{- 1} Ω_{엔} 유^{'} \equiv 유 Λ_{엔} 유^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— 잭 폴슨
소스