삼각 메쉬의 불규칙성을 정량화하기 위해 일반적으로 사용되는 메트릭

평평한 평면에 삼각형 메쉬가 있다고 가정 해보십시오. 예를 들어 이것은 역학의 문제를 해결하기 위해 만들어졌습니다.

정점과 중심 사이의 거리가 동일하기 때문에 정삼각형의 메쉬가 가장 좋습니다. 따라서 보간 및 그라디언트 계산이 쉽고 정확한 작업이됩니다. 그러나 제약 조건과 상황으로 인해 모든 정삼각형의 메쉬에서 작업하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다.

따라서 질문은 임의의 모양의 삼각형 요소의 메쉬에 관한 것입니다.

에 관한 개별 메쉬 요소를 . 어떤 기본 정삼각형에서 하나의 일반 삼각형의 비 유사성을 정량화하는 데 일반적으로 사용되는 메트릭은 무엇입니까?

에 관한 전체 메쉬를 . 임의의 삼각형 메쉬의 불규칙성을 전체적으로 평가하기 위해 어떤 메트릭이 사용됩니까? 이 메트릭은 메쉬가 어떻게 스크램블되었는지를 나타냅니다.

함께 생각해 주셔서 감사합니다.

참고 유한 요소 커뮤니티의 모든 기여는 대단히 감사합니다. 이 질문의 경우 관심은 형상 (임의 삼각형과 등변 삼각형)의 차이를 순전히 수량화하는 것입니다. 보간 및 컨디셔닝 오류에 대한 후속 영향은 범위를 벗어납니다. 이것들은 통찰력과 관련성이있을 수 있으며, 수학적 처리를 복잡하게합니다.

mesh-generation mesh geometry

— 자비에르
소스

이 질문 을 확인 했습니까 ? 그리고 그 게시물에서 : "좋은 유한 요소 란 무엇입니까?"

— nicoguaro

나는 원주와 원주 사이의 면적 / 반경의 비율이 효과가 있다고 생각합니다. 자코비 안의 고유 값 비율, 최소 및 최대 각도.

— nicoguaro

Shewchuck의 가장 유명한 논문 중 하나가이 주제를 깊이있게 다루고 있습니다 . 좋은 선형 유한 요소 란 무엇입니까?

— Paul

@nicoguaro 감사합니다. 나는 FEM에 특별히 관심이 없지만 요소 모양의 차이를 정량화하는 데 관심이 있습니다. 예를 들어 반지름의 비율에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까? 크기와 무관합니까? 다시 말해, 다른 사람이 만들 수있는 답변에 옵션을 나열 할 수 있다면 감사하겠습니다.

— XavierStuvw

모든 메쉬 요소에서 최소 각도를 볼 수도 있습니다. 아이디어는 이것이 가능한 한

— 커지기를 원한다는 것입니다

답변:

@Nicoguaro와 @Paul이 질문 게시물에 대한 의견에서 말했듯이 이런 종류의 작업을 수행하는 많은 방법이 있으며, 단일 "최상의"접근 방식이 있는지 확실하지 않습니다.

버클리 의 Jonathan Richard Shewchuck 에 대한 검토 연구 에서 답은 다음과 같습니다.

기호, 용어, 특수 기능 및 더 많은 것 (예 : 4 면체) 에 대해서는 원본 문서 (버전 31/12/2002)를 참조하십시오 . 6 장은 품질 측정에 관한 것입니다. 링크 된 문서는 확장 버전이며, JRS 웹 페이지에는 요약 된 문서도 있습니다.

개인적으로 저는 "볼륨 길이"메트릭의 팬입니다. (등방성) 심플 렉스 품질에 대한 강력한 스칼라 표시기이며 계산하기에 저렴합니다. 2 차원에서 :

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

여기서 는 삼각형의 부호있는 영역이고평균 제곱근 길이입니다. 이상적인 요소 달성 , 이는 왜곡이 증가함에 따라 0으로 감소합니다. 방향이 반대 인 반전 된 요소 입니다. $A$ $\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$ $a=1$ $a < 0$

비정형 삼각 분할의 품질을 평가하기 위해 이러한 요소 품질 메트릭의 히스토그램을 보는 것이 일반적입니다. 그러한 것들에 대한 많은 구현이 있지만, 하나의 간단한 MATLAB코드베이스가 있습니다 .

체적 길이 점수 외에도 요소 각도 및 정점 각도의 히스토그램도 기본적으로 계산됩니다.

— 대런 엔위 르다
소스

왜이 측정 항목의 팬입니까? 메시로 수행 한 시뮬레이션의 정확도를 예측하는 것이 좋습니까?

— BrunoLevy 2016 년

@BrunoLevy : 심플 렉스에 대한 단순한 "기본"선택 : 글쎄, 그것은 고차원으로 강력하게 일반화되고, 계산하기에 저렴하고, 수치 적으로 잘 조절되어 있으며, "엉킴"표시기를 제공합니다. 오리엔테이션이며 질문에 따라 간단한 "형상 전용"표시기입니다. 시뮬레이션 품질에 대한 좋은 지표입니까? 글쎄, 그것은 당신이하는 일에 달려 있습니다! 등방성 메쉬에 관심이 있으시면 예라고 대답합니다. 방향에 의존하는 이방성 구성은 직접적이지 않지만 방향 좌표 의존적 이방성 구성은 적합하지 않습니다.

— 대런 Engwirda

또한 매끄 럽기 때문에 임의의 Lagrangian-Eulerian 공식으로 실행할 수 있습니다. 적은 노력으로 이방성 메쉬로 일반화 할 수 있습니다.

— likask

@likask : 그렇습니다. 좋은 점은 메시 스무딩 및 최적화에 좋은 비용 함수가 될 수 있습니다.

— 대런 Engwirda

나는 대런의 대답의 범위를 넓히는 Shewcuck의 발췌 부분을 추가했습니다. 이것도 몇 가지 의견을 요약합니다. 이 게시물의 모든 기고자에게 감사합니다.

— XavierStuvw

이 질문 에 대한 답 은 일반적으로 메쉬의 의도 된 용도에 달려 있기 때문에 나는 생각하지 않습니다 . 예를 들어, 계산 유체 역학을 수행하는 경우 경계층 근처에 극도로 이방성 인 메시를 원할 수 있습니다. 이제 컴퓨터 전자기 작업을 수행하는 경우 최상의 메시는 완전히 다를 수 있습니다.

문헌에는 "메쉬 품질"기준에 대한 많은 다른 정의가있다. 그들 대부분은 가능한 한 정삼각형이있는 메쉬를 선호합니다. 가장 작은 각도를 최대화한다는 아이디어도 언급 할 수 있습니다 (고정 점 집합에 대해 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)으로 실현됨). 주석 중 하나에서 언급 한 Jonathan Shewchuk의 분석에 의해 정당화됩니다.이 각도는 P1 요소로 이산 된 Laplace 방정식의 강성 행렬의 조건 수와 관련이 있지만 의도 된 용도에 따라 누군가의 좋은 메쉬는 누군가가 될 수 있습니다 그렇지 않으면 메쉬가 좋지 않습니다.

나는 "기하학적 차이 (임의 삼각형 대 등변 삼각형)"의 차이를 순전히 정량화하는 것이 이치에 맞지 않다고 생각한다. 삼각형이 등변인지를 측정하고 어떤 "편차 wrt 등변"이 가장 좋은지를 결정하기 전에, 알아낼 필요가있다 "등변 삼각형"이 우리가 원하는 것인지, 항상 그런 것은 아닙니다! 그것은 모두 당신이 언급 한 "보간 및 컨디셔닝"에서 나옵니다. 예, "수학적 처리가 복잡하다"고 말했지만 주어진 응용 프로그램에 대한 객관적인 기준과 전혀 이해되지 않는 기준 사이의 차이를 만드는 것은 불가능합니다.

— 브루노 레비
소스