시간 차원이 왜 특별한가요?

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일반적으로 수치 분석가들이

"물론 수학적으로 말하면, 시간은 또 다른 차원이지만 여전히 시간 은 특별하다"

이것을 정당화하는 방법? 어떤 의미에서 시간은 계산 과학에 특별한가?

또한, 왜 우리는 종종 시간 차원에 유한 차이 ( "시간-스텝핑 (time-stepping)")를 사용하고 공간 차원에 유한 차이, 유한 요소, 스펙트럼 방법 등을 적용하는 것을 선호합니까? 가능한 이유 중 하나는 시간 차원에 IVP가 있고 공간 차원에 BVP가있는 경향이 있기 때문입니다. 그러나 나는 이것이 그것을 완전히 정당화한다고 생각하지 않습니다.

pde discretization

— 패트릭
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인과 관계는 정보가 제 시간에 전달 될뿐 알고리즘이이 사실을 악용하도록 설계되어야 함을 나타냅니다. 시간-스텝 방식은 글로벌 타임 스펙트럼 방법이나 다른 아이디어는 그렇지 않습니다. 물론 모든 사람들이이 사실을 악용한다고 주장하는 이유는 물론, 이해하기 쉽습니다. 만약 공간 문제에 이미 백만 개의 미지의 물질이 있고 1000 개의 시간 단계를 수행해야한다면 오늘날의 전형적인 기계에서 해결할 수있는 충분한 자원이 있습니다. 공간 문제 자체가 한 번에 한 단계 씩 진행되지만 $10^9$ 미지 의 결합 문제를 처리 할 충분한 자원이 없습니다 .

상황은 운송 현상의 공간적 이산화에 대한 것과 크게 다르지 않습니다. 물론, 전체적으로 결합 된 접근 방식을 사용하여 순수한 1 차원 이류 방정식을 이산화 할 수 있습니다. 그러나 효율성에 관심이 있다면 가장 좋은 방법은 유입에서 도메인의 유출 부분으로 정보를 전달하는 다운 스트림 스윕을 사용하는 것입니다. 그것이 바로 시간 단계 체계가 정시에 수행하는 일입니다.

— 볼프강 뱅 거스
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좋은 지적입니다. 기억은 확실히 주요 제약입니다! :)

— Paul

인과 관계는 자연스럽게 유한 한 차이가 있지만 "글로벌 커플 링"이 아니라는 점을 분명히 알 수 있습니다. 반대로 BVP를 해결하기위한 "촬영 방법"은 그 반대입니다. 원치 않는 인과 관계가 생깁니다. 분석적으로 말하면 특정 방정식 (예 : 2 차 쌍곡선 PDE)의 경우 인과성이 독창성을 위해 필요합니다. 그러나 어떤 경우에는 그렇지 않으며 시간에 따라 스펙트럼 방법도 잘 수행 할 수 있습니다. 말씀 드린대로 시스템 크기를 줄이는 것도 큰 문제라고 생각합니다. 그리고 임의의 공간적 차원보다 시간에 FD를 수행하는 것이 더 합리적입니다.

— Patrick

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그의 포스트에서 언급 한 인과 관계와 유사하게, 우리는 Minkowski 시공간 관점에서 시간 차원이 특별한 이유를 알 수 있습니다 : $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

차원의 시공간이 내적으로 정의되고 경우 및 두 개의 1- Minkowski 시공간 형태 : , 는 비슷한 방식으로 정의됩니다. 내부 제품을 정의하는 직관 (또는 미터법) 시공간에서 두 개의 서로 다른 지점 (이벤트)이 거리가 0이되도록 절대 광속에 대한 아이디어를 부과하는 것입니다. 지금 같은 원뿔에 있다면. $(3+1)$

(에이, 비) = {에이}_{엑스} 비_{엑스} + {에이}_{와이} 비_{와이} + {에이}_{지} 비_{지} - \frac{1}{{기음}^{2}} {에이}_{티} 비_{티}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$

보시다시피,이 내부 제품은 광속 의해 스케일 된 시간 차원의 존재로 인해 양의 한정이 아니기 때문에 직관적으로 말하자면 시공간에 전파되는 양에 관한 문제를 처리 할 때 우리는 단순히 3의 정리를 적용 할 수 없습니다 차원 시공간 에 대한 차원 유클리드 메트릭 , 3 차원 타원 PDE 이론과 그에 상응하는 수치 적 방법이 쌍곡선 PDE 이론과 크게 다르다는 것을 생각하면됩니다. $c$ $(3+1)$

아마도 주제를 벗어난 것이지만 공간과 시공간 (타원 대 쌍곡선)의 또 다른 주요 차이점은 대부분의 타원 방정식이 평형과 타원이 우리에게 "좋은"규칙 성을 제공하는 반면, 쌍곡선 문제 (충격, 희귀, 기타).

편집 : 나는 이전에 배운 것을 기반으로 정의를 제공하는 것 외에 Poisson 방정식 또는 탄성과 같은 전형적인 타원 방정식, 정적 현상을 모델링하고 데이터 및 관심 영역의 경계가 "부드럽습니다", 이는 지배 미분 연산자의 타 원성 (또는 양의 명확한 속성)으로 인해 발생합니다. 부분적으로) 전형적인 연속 유한 요소가 잘 작동합니다. 열 방정식과 같은 포물선 방정식에도 비슷한 것들이 적용됩니다. 열 방정식은 시간에 따라 행진하는 타원 방정식이며 유사한 "평활화"속성을 가지고 있으며, 초기의 날카로운 모서리는 시간이 지남에 따라 부드럽게됩니다.

일반적으로 보존법에서 파생 된 쌍곡선 문제의 경우 "보수적"또는 "분산"입니다. 예를 들어, 벡터 필드와 함께 특정 수량 흐름을 설명하는 선형 이동 방정식은 초기에이 특정 수량이 어떻게 유지되는지를 유지합니다.이 벡터 필드를 따라 공간적으로 움직이면 불연속성이 전파됩니다. 그러나 다른 쌍곡선 방정식 인 슈뢰딩거 방정식은 분산 적이며 복소수의 전파이며, 비 진동 초기 상태는 시간이 지남에 따라 다른 진동 파 패킷이됩니다.

"시간-스텝핑"을 언급했듯이 선형 이류 방정식 BVP와 매우 유사한 인과 관계로 특정 속도의 시간 "필드"에서 수량 "흐름"을 생각할 수 있습니다. 유입 경계 조건 만 적용하면됩니다. 즉, 관심 영역으로 유입 될 때 양이 어떻게되는지, 그리고 솔루션은 유출 될 때 양이 어떻게되는지 알려주며, 시간 단계를 사용하는 모든 방법과 매우 유사합니다. 공간에서 2D 대류 방정식을 푸는 것은 시공간에서 1D 단면 전파 문제를 해결하는 것과 같습니다. 숫자 체계의 경우 시공간 FEM에 대해 Google에 연결할 수 있습니다.

— 슈 하오 카오
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나는 당신이하는 말의 대부분이 내 머리 위에 있다고 말해야합니다. 그러나 마지막 단락은 매우 흥미 로웠으며 통찰력을 제공합니다. (공간 및 시공간) 대 (타원 및 쌍곡선)에 대한 링크가 있습니까?

— Patrick

@Patrick 관심을 가져 주셔서 감사합니다. 제 답변을 더 많이 편집했습니다.

— Shuhao Cao

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몇 가지 예외 (예 : 완전 이산 유한 요소 방법)가 있지만, 시간적 이산화는 일반적으로 정보 흐름에서 본질적으로 순차적 인 의존성을 의미합니다. 이 종속성은 반 이산 알고리즘 (공간의 BVP, 시간의 IVP)을 순차적으로 하위 문제에 대한 솔루션을 계산하도록 제한합니다. 이 이산화는 일반적으로 단순성을 위해 선호되며 분석가가 공간과 시간 모두에서 더 높은 정확도를 위해 잘 개발 된 많은 알고리즘을 제공하기 때문입니다.

공간 차원에서도 유한 차분을 사용하는 것이 가능하고 더 단순 할 수 있지만, 유한 요소 방법은 유한 차분 방법보다 관심있는 도메인 유형 (예 : 비정규 형태)에서 더 쉬운 유연성을 제공합니다. 공간 이산화의 "좋은"선택은 종종 매우 문제 의존적입니다.

— 바울
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