유한 차이와 유한 요소 중에서 선택할 수있는 기준은 무엇입니까

나는 유한 차분을 매우 한정된 격자에서 유한 요소의 특별한 경우로 생각하는 데 익숙합니다. 수치 적 방법으로 유한 차분 법 (FDM)과 유한 요소법 (FEM) 중에서 선택하는 방법에 대한 조건은 무엇입니까?

유한 차이 방법 (FDM)의 측면에서, 그것들은 유한 요소 방법 (FEM)보다 개념적으로 더 간단하고 구현하기 쉽다고 생각할 수 있습니다. FEM은 매우 유연하다는 이점을 갖는다. 예를 들어, 그리드는 매우 불균일 할 수 있고 도메인은 임의의 형상을 가질 수있다.

FDM이 FEM보다 우수한 것으로 알려진 유일한 예는 Zarba의 Bouloutas, Celia에 있습니다 . 여기서 이점은 다른 시간 미분의 이산 법을 사용하는 FD 방법 때문입니다. .

로컬 재구성 및 구적법을 일부 선택하여 Petrov-Galerkin 유한 요소 방법으로 가장 구체적인 유한 차이 방법을 작성할 수 있으며, 대부분의 유한 요소 방법은 일부 유한 차이 방법과 대수적으로 동등한 것으로 표시 될 수 있습니다. 따라서 사용하려는 분석 프레임 워크, 원하는 용어, 원하는 확장 성 시스템 및 소프트웨어 구성 방법에 따라 방법을 선택해야합니다. 다음과 같은 일반화는 실용화의 대부분의 변형에서 적용되지만 많은 점들이 우회 될 수 있습니다.

유한 차이

찬성

• 효율적인 쿼드 러처없는 구현
• 특정 체계에 대한 종횡비 독립성 및 국소 보존 (예 : 비 압축 흐름을위한 MAC)
• 운송을위한 강력한 비선형 방법 (예 : ENO / WENO)
• 일부 문제에 대한 M- 행렬
• 일부 문제에 대한 불연속 최대 원리 (예 : 모의 유한 차이)
• 대각선 (대개 동일성) 질량 매트릭스
• 저렴한 절점 잔차로 효율적인 비선형 멀티 그리드 (FAS) 가능
• 셀 방식의 Vanka 스무더는 비 압축 흐름을 위해 효율적인 매트릭스 프리 스무더를 제공합니다

단점

• "물리"를 구현하기가 더 어렵다
• 지그재그 그리드는 때로는 매우 기술적 인
• 비정형 그리드에서 2 차보다 높은 것은 어렵다
• Galerkin 직교성이 없으므로 수렴은 증명하기가 더 어려울 수 있습니다.
• Galerkin 방법이 아니기 때문에 이산화 및 인접 값이 통근하지 않습니다 (최적화 및 역 문제와 관련됨)
• 자체 인접 연속성 문제는 종종 비대칭 행렬을 생성합니다
• 솔루션은 포인트 단위로만 정의되므로 임의의 위치에서의 재구성은 고유하게 정의되지 않습니다
• 경계 조건은 구현하기가 복잡한 경향이 있습니다.
• 불연속 계수는 일반적으로 방법을 1 차로 만듭니다.
• 물리학에 "교차 항"이 포함되면 스텐실이 자랍니다.

유한 요소

찬성

• Galerkin의 직교성
• 간단한 기하학적 유연성
• 불연속 Galerkin은 구조화되지 않은 그리드에서 임의의 순서로 강력한 전송 알고리즘을 제공합니다.
• 안정성을 보장하는 셀 단위 엔트로피 불평등은 비선형 리미터를 필요로하지 않고 메시, 치수, 정확도, 불연속 솔루션의 존재와 독립적으로 유지됩니다$L^2$
• 경계 조건을 쉽게 구현
• 시험 공간을 선택하여 보존 진술을 선택할 수 있습니다
• 이산화 및 인접 통근 (Galerkin 방법의 경우)
• 기능 분석의 우아한 기초
• 로컬 커널은 FD에서 누락 된 텐서 제품 구조를 악용 할 수 있습니다.
• Lobatto 구적법은 에너지 절약 방법을 만들 수 있습니다 (상징적 시간 적분자를 가정)
• 경계에 맞출 수있는 한 불연속 계수에서도 높은 순서 정확도
• XFEM을 사용하면 요소 내부의 불연속 계수를 수용 할 수 있습니다
• 여러 개의 주입 조건을 쉽게 처리

단점

• 많은 요소가 높은 종횡비에서 문제가 있습니다
• 연속 FEM이 운송에 문제가 있음 (SUPG는 확산 및 진동)
• DG는 일반적으로 동일한 정확도에 대해 더 많은 자유도를 갖습니다 (HDG가 훨씬 더 우수하지만)
• 연속 FEM은 저렴한 절점 문제를 제공하지 않으므로 비선형 스무더의 상수가 훨씬 낮습니다.
• 조립 된 행렬에서 일반적으로 0이 아닌 숫자
• 일관된 질량 매트릭스 (일부 속성은 좋지만 전체 역수를 가지므로 시간 단계마다 암시 적 해결이 필요함)와 일괄 질량 매트릭스 중에서 선택해야합니다.

이 질문은 너무 광범위하여 의미있는 답변을 얻을 수 없습니다. 대답하는 대부분의 사람들은 사용될 수있는 모든 종류의 FD 및 FE 이산화의 일부에만 익숙 할 것입니다. FD와 FE 모두

• 구조화 또는 비 구조화 그리드 에서 구현 가능 ( 구조화되지 않은 그리드 에서 FD 방법의 한 예는 이 백서 를 참조하십시오 )
• 임의로 높은 정확도 로 확장 할 수 있습니다 (여러 가지 방법으로!)
• 공간 및 / 또는 시간에 , 아마도 조합 하여 이산화하는 데 사용될 수있다
• 사용 중 로컬 또는 글로벌 기저 함수 (모두 FD 및 FE 형 분광 방법으로 후자를 리드)
• 연속 또는 불연속 기능 공간을 기반으로 할 수 있음
• 공간적으로 명시 적이 거나 암시적일 수 있음
• 시간적 으로 명시 적이 거나 암시적일 수 있음

당신은 아이디어를 얻습니다. 물론 특정 분야에서 사람들이 일반적으로 구현하고 사용하는 FD 및 FE 방법은 매우 다른 기능을 가질 수 있습니다. 그러나 이것은 일반적으로 두 가지 이산화 접근법의 본질적인 한계 때문이 아닙니다.

임의로 높은 차수의 FD 체계와 관련하여 : 고차 FD 체계의 계수는 임의의 차수에 대해 자동으로 생성 될 수 있으며; 예를 들어 LeVeque의 책을 참조하십시오 . FD 방법 인 스펙트럼 배열 방법은 메시 간격의 힘보다 빠르게 수렴합니다. 예를 들어 Trefethen 's book을 참조하십시오 .

유한 요소 (FE)의 장점 :

• 변형 방법 (예 : Schroedinger 방정식의 경우 "p"가 증가함에 따라 에너지가 항상 감소하며 FD에는 해당되지 않음)
• 높은 주문에서 정확함 (p = 50 이상)
• 일단 구현되면 "p"와 "h"모두에서 체계적인 수렴을 쉽게 수행 할 수 있습니다 (각 주문에 대해 특별한 FD 체계를 사용하는 것과는 대조적으로)

유한 차이 (FD)의 장점 :

• 더 낮은 주문에 쉽게 구현
• 정확도가 낮은 경우 FE보다 빠를 수 있습니다.

때때로 사람들은 Runge-Kutta 또는 Adams 방법과 같은 ODE의 통합자를 의미하는 "유한 차이"라고 말합니다. 이 경우 FD의 또 다른 장점이 있습니다.

• 비선형 ODE를 직접 해결 가능

FE는 Newton 방법과 같은 비선형 반복이 필요합니다.

몇몇 훌륭한 답변은 이미 유한 요소 방법의 장점이 유연하고 강력하다고 언급했습니다. 여기서 Sobolev 공간과 차등 기하학 관점에서 FEM의 또 다른 이점을 제공 할 것입니다. 유한 요소 공간이 물리적 연속성 조건을 상속 할 가능성은 진정한 솔루션이있는 Sobolev 공간.

예를 들어, 평면 탄성을위한 라비 아트 토마스면 요소, 및 확산을위한 혼합 방법; 전산 전자 기용 Nédélec 엣지 요소.

일반적으로 "에너지 일체형"공간에 있는 차등 형태 인 PDE의 솔루션 : 여기서, 는 외부 도함수이며,이 공간을 중심으로 de Rham cohomology를 만들 수 있습니다 이는 3D 공간에서 다음과 같은 정확한 Rham 시퀀스를 구성 할 수 있음을 의미합니다.$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

연산자의 범위는 다음 연산자의 null 공간이며,이 de Rham의 정확한 시퀀스를 상속하기 위해 유한 요소 공간을 구축 할 수 있다면이 유한 요소 공간을 기반으로하는 Galerkin 메소드는 안정적이고 실제 솔루션으로 수렴합니다. 그리고 우리는 de Rham 시퀀스에서 정류 다이어그램으로 간단히 보간 연산자의 안정성과 근사 특성을 얻을 수있을뿐만 아니라이 시퀀스를 기반으로 사후 오류 추정 및 적응 형 메시 정련 절차를 구축 할 수 있습니다.

이에 대한 자세한 내용은 Acta Numerica의 Douglas Arnold의 기사 : " 유한 요소 외부 미적분학, 상 동성 기술 및 응용 프로그램 "및 아이디어를 간략하게 소개하는 슬라이드를 참조하십시오.

공간 체계와 시간 체계를 구분하는 것이 중요합니다.

유한 요소는 종종 일시적인 용어 (예 : 명시 적 오일러, 암시 적, 크랭크-니콜슨 또는 일시적 확산을위한 룬가 쿠타)와 공간 이산을위한 유한 요소를 통합하기 위해 유한 차이를 사용합니다.

유한 요소는 불규칙한 메쉬에 적합합니다. 그것들은 변이 원리를 기반으로 할 수 있지만 일반적으로 가중 잔차 방법을 사용하여 일반화됩니다. 다른 다항식 차수를 사용하고 Lagrange 승수를 사용하여 비압축성과 같은 제약 조건을 적용하는 요소 라이브러리를 쉽게 개발할 수 있습니다.

두 공식은 모두 종말의 수단입니다 : 방정식 시스템과 선형 대수의 관점에서 미분 방정식을 표현합니다.

한 방법의 속도에 대한 설명은 알고리즘을 설명하여 규정해야합니다. 예를 들어, 기계적 문제를 쌍곡선 역학 문제로 캐스팅하면 행렬 분해가 곱셈과 덧셈으로 대체되기 때문에 경우에 따라 더 빠른 결과를 얻을 수 있습니다.

나는 유한 한 차이보다 유한 요소 방법에 대해 더 많이 알고 있음을 인정할 것입니다. FEM은 상용 패키지로 제공되며 산업 및 학계에서 널리 사용되어 견고한 역학 및 열 전달 문제를 해결합니다. 유한 차이 또는 유한 체적 접근 방식이 전산 유체 역학에 사용된다고 생각합니다.