어떤 적용 사례에서 부가적인 사전 조정 체계가 곱셈 체계보다 우수합니까?

도메인 분해 (DD) 및 멀티 그리드 (MG) 방법 모두에서, 블록 업데이트 또는 거친 보정의 적용을 가산 적 또는 곱셈으로 구성 할 수 있습니다. 포인트 솔버의 경우 이것은 Jacobi와 Gauss-Seidel 반복의 차이점입니다. S ( x o l d , b ) = x n e w 로 작용하는 대한 곱셈 스무더가 다음 과 같이 적용됩니다.$Ax = b$$S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

첨가제 스무더가 다음과 같이 적용됩니다.

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

약간의 감쇠 . 일반적인 합의는 곱셈 스무더가 훨씬 더 빠른 수렴 속성을 갖는 것으로 보이지만 궁금합니다. 어떤 상황에서 이러한 알고리즘의 부가 변형의 성능이 더 좋습니까?$\lambda_i$

보다 구체적으로, 첨가 변이체가 곱셈 변이체보다 현저히 우수하고 /하거나 성능이 우수한 유스 케이스를 가지고있는 사람이 있습니까? 이것에 대한 이론적 인 이유가 있습니까? 멀티 그리드에 대한 대부분의 문헌 은 Additive 방법에 대해 상당히 비관적 이지만 DD 컨텍스트에서는 Add Schwarz와 같이 많이 사용됩니다. 이것은 선형 및 비선형 솔버를 구성하는 훨씬 일반적인 문제와 어떤 유형의 구조가 잘 수행되고 병렬로 잘 수행되는지에 이르기까지 확장됩니다.

추가 방법은 더 많은 동시성을 노출시킵니다. 해당 동시성을 사용할 수 있으면 일반적으로 곱셈 방법보다 빠릅니다. 예를 들어, 거친 수준의 멀티 그리드는 일반적으로 대기 시간이 제한됩니다. 거친 수준을 더 작은 하위 통신 자로 이동하면 더 작은 수준과 독립적으로 해결할 수 있습니다. 곱셈 체계를 사용하면 모든 수준의 프로세스가 거친 수준이 해결되는 동안 기다려야합니다.

또한 알고리즘이 모든 수준에서 감소가 필요한 경우, 곱셈법이 순차적으로 수행하도록 첨가제 변형이 알고리즘을 통합 할 수 있습니다.

SPD 문제의 경우 이미 언급했듯이 몇 가지 이유로 부가적인 방법이 MG 스무딩에 더 좋습니다.

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

그러나 곱셈법은 MG 매끄럽게하기 위해 정확한 스펙트럼 특성을 가지고 있습니다. 즉, 감쇠가 필요하지 않습니다. 이것은 다항식 평활화가 그리 좋지 않은 쌍곡선 문제에 큰 도움이 될 수 있습니다.

나는 @Jed가 말한 것을 다시 언급 할 것이다 : Multiplicative 메소드는 적어도 Additive 메소드 (무증상)뿐만 아니라 항상 수렴하기 때문에 동시성에만 의존하지만 아키텍처에 따라 다르다.