다항식으로 근사하기 어려운 연속 함수의 예

교육 목적을 위해 다항식과 근사하기에는 "어려운"단일 변수의 연속 함수가 필요합니다. 즉,이 함수를 "적합"하려면 파워 시리즈에서 매우 높은 파워가 필요합니다. 나는 학생들에게 파워 시리즈로 달성 할 수있는 것의 "제한"을 보여 주려고합니다.

나는 "소음을"뭔가를 concocting에 대해 생각하는 대신 내 자신의 압연의 난 그냥 사람들에게 다소 유사하게, 근사 / 보간 알고리즘을 테스트하기 위해 사용하는 표준 "어려운 기능"의 종류가 있는지 궁금 최적화 테스트 기능 여러가 순진한 알고리즘이 쉽게 고착되는 로컬 최소값

이 질문이 제대로 구성되지 않은 경우 사과합니다. 비 수학자에게 자비를 베푸십시오.

절대 값 기능을 단순히 보여주지 않겠습니까?

예를 들어 Legendre 다항식 확장을 사용한 근사법은 작동하지만 꽤 나쁘다 .

Taylor 확장은 물론 여기서는 완전히 쓸모가 없으며 항상 선형 함수 만 제공합니다. 항상 감소하거나 항상 증가합니다 (확장 지점이 음수인지 양수인지에 따라 다름).

$|x|$

근사값은 근사되는 함수에 의해서가 아니라 근사값이 "적합"해야하는 간격에 의해 어려워집니다. 그리고 "적합한"척도를 정의해야합니다. 즉, 허용하려는 최대 (절대 또는 상대) 오류는 무엇입니까?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

다항식은 놀랍게도 함수 근사화에서 효과적입니다 [1]. Lipschitz 연속성이 최소한 있으면 Chebyshev 근사값이 수렴됩니다. 물론 수렴이 느려질 수 있으며 이는 비 매끄러운 기능을 처리하기 위해 지불하는 가격입니다.

오늘날 컴퓨터는 많은 수치 분석 서적을 작성했던 날보다 훨씬 빠르며 영리한 알고리즘으로 속도가 더 빨라지므로 더 많은 용어를 사용해야하는 것이 예전만큼 나쁘지 않을 수 있습니다.

Weierstrass 괴물 기능과 같은 병리학적인 예는 이론적 인 관점에서 흥미롭지 만 대부분의 실제 적용 상황을 대표하지는 않습니다.

$|x|$$x=0$

다항식으로 근사하는 데 어려움을 가르치는 것이 중요하지만 학생들에게 이러한 문제를 해결할 수있는 오류 추정 및 적응 형 알고리즘을 만들 수 있다고 알려주는 것도 중요합니다.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

$y = sin(x)$