스톡스 방정식에서 유한 요소 혼합 법에 대한 호환성 조건을 부과

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$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ 다음과 같은 스톡 흐름 모델 방정식이 있다고 가정합니다.

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ 여기서 점도

ν (x)

$\nu(x)$ 는 함수, 표준 혼합 유한 요소의 경우 안정 쌍을 사용한다고 가정 합니다. 속도

및 요소 별 상수 공간에 대해 Crouzeix-Raviart space

압력

대한

는 다음과 같은 변형 형태입니다.

V_{h}

$\v{V}_h$

u

$\v{u}$

S_{h}

$S_h$

p

$p$

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Lagrange multiplier $p$ 는 상수까지 결정될 수 있기 때문에, 최종적으로 조립 된 행렬은 nullspace $1$ 가져야합니다 .이를 피하기 위해 특정 요소에 대한 압력 $p$ 를 0으로 강제 할 수 있습니다. 단일 시스템을 해결하십시오.

여기 제 질문이 있습니다 :

(Q1) 표준 혼합 유한 요소의 커널을 제거하기 위해 일부 요소에 $p=0$ 을 적용하는 것 외에 다른 방법이 있습니까? 또는 단일 솔루션을 얻기 위해 단일 시스템을 해결할 수있는 솔버가 있습니까? (또는 일부 참조는 환영합니다)

그리고 (1)의 호환성에 대해이 있어야한다

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$ 과 좋은 약간의 트릭을되는 컴퓨팅

\tilde{p}

$\tilde{p}$ 할 것을

p

$p$ 우리의 솔루션에서 가져온 가중 평균을 뺀 선형 시스템 :

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

그러나 최근에는 Bochev, Dohrmann 및 Gunzberger의 Stokes 방정식에 대해 안정화 된 혼합 유한 요소를 $P_1-P_0$ 구현 했습니다. 여기서 변형 공식에 안정화 된 항을 추가했습니다 (1) : 여기서 은 조각 단위 상수 공간 에서 연속 조각 단위 로의 투영 이고 원래 혼합 유한 요소의 상수 커널은 사라졌지 만 이상한 일이 발생했습니다. (2) 더 이상 작동하지 않습니다. 테스트 문제를 만들었습니다.

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ 확산 방정식에 대한 인터페이스 문제 , 이것이 내가 압력 대해 얻은 것입니다 . 오른쪽은 진정한 솔루션이고 왼쪽은 숫자 근사입니다.

p

$p$

스톡스 테스트 1

그러나 가 상수이면 테스트 문제는 잘 수행됩니다. $\nu$ 스톡스 테스트 2

나는 그것이 전체 시스템의 inf-sup 안정성과 관련되어 있기 때문에 호환성 조건을 부과하는 방식이기 때문에 추측합니다. 두 번째 질문은 다음과 같습니다.

(Q2) : 압력 대한 호환성을 부여하기 위해 (2) 이외의 다른 방법이 있습니까? 또는 테스트 문제를 코인하는 동안 어떤 종류의 를 사용해야합니까? $p$ $p$

finite-element

— 슈 하오 카오
소스

MathML이 작동하지 않습니까?

— Shuhao Cao

우리는 StackExchange에서 MathJaX를 사용합니다. 자세한 질문에 대해 게시 한 모든 내용이 아름답게 표시됩니다.

— Aron Ahmadia

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호환성 조건은 압력이 아닌 속도와 관련이 있습니다. 그것은 당신이 경우에한다고 만 속도에 대한 디리클레 경계 조건을 가지고, 다음이가 발산없는 제약 조건, 즉와 호환되어야합니다 와 의 경계 계산 도메인 (셀이 아님). $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

이 경우 는 에 상수를 고정 할 경계 조건이 없기 때문에 에 임의의 상수가있는 와 구별 할 수 없습니다 . 따라서 압력에 대한 솔루션은 무한히 많으며 솔루션을 비교하려면 규칙이 필요합니다. 수학자는 선택을 선호 하도록 물리학이 선호하는 동안 (그들은 통합 할 수 있기 때문에) (그들이에서 측정 할 수 있기 때문에 포인트). 경우 의 당신의 이산과 동일 , 그 의미 $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ 항등 벡터로 구성된 null 공백이 있습니다.

Krylov 부분 공간 방법은 솔루션을 찾는 Krylov 부분 공간에서 널 공간을 제거하여 단일 시스템을 해결할 수 있습니다. 그러나 이것이 주어진 규칙과 일치하는 솔루션 를 얻는다는 것을 의미하지는 않습니다 . 후 처리 단계에서 항상 상수를 결정해야하며 솔버가 대신 할 수는 없습니다. $p$

다음은 문제를 해결하기위한 제안입니다.

식 (2)는 이상하게 보인다. 가 의 함수 라면 어떻게 적분 밖에있을 수 있습니까? $\nu$ $x$
속도 필드가 호환성 제약 조건을 충족합니까?
압력에 대해 아무 것도하지 말고, 솔버가 자유롭게 내도록 한 다음 . 상수입니까? $p$ $p-p_\mathrm{exact}$
그렇지 않다면, 의 null 공간 이 실제로 항등 벡터이고 더 이상 아무것도 아닌지 확신 합니까? 종이와 코드 모두? 문제는 실제로 널 공간을 계산하기에 충분히 작은 것 같습니다. $B$

— 크리스
소스

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(Q1)의 경우 시스템의 최소 제곱 솔루션을 계산하는 중철 문제에 대한 솔버를 선택할 수 있습니다. 그런 다음 특정 자유도를 설정하는 것과 같이 승수에 추가 조건을 부과하여 특정 평균을 부과합니다.

일반적 으로이 답변 (Q1)에 대해 다른 상수를 구별 할 수있는 선형 제약 조건을 사용할 수 있다고 생각합니다.

이 제한은 후 처리 단계에서 또는 시험 공간의 적절한 선택에 의해 부과 될 수 있습니다 (예를 들어, 자유도를 1 개 생략 한 경우).

— 슈할로
소스