고진동 적분의 수치 평가

에서 복잡한 함수 이론의 응용 프로그램에이 고급 과정 운동 높은 진동 통합 한 지점에서

$$I(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x$$

복소 평면에서 안 장점 방법을 사용하여 큰 $\lambda$ 값에 대해 근사값을 구해야합니다.

높은 진동 특성으로 인해이 적분은 대부분의 다른 방법을 사용하여 평가하기가 매우 어렵습니다. 다음은 서로 다른 스케일에서 $\lambda = 10$ 에 대한 정수 그래프의 두 조각입니다 .

최첨단 점근 근사법은

$$I_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}}$$

더 (더 작은) 세분화는 용어를 추가합니다

$$I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}}$$

$\lambda$ 의 함수로서 근사값의 그래프는 다음과 같습니다.

이제 내 질문이 온다 : 근사치가 얼마나 좋은지를 시각적으로 보려면, 적분의 "실제 가치"와 비교하거나, 더 정확하게는 독립 알고리즘을 사용하여 동일한 적분에 대한 근사치와 비교하고 싶습니다. 서브 리딩 교정의 크기가 작기 때문에 이것이 매우 근접 할 것으로 예상됩니다.

나는 일부에 대한 통합 평가하기 위해 노력 $\lambda$ mpmath는 모두 이중 지수 사용 티카와 matlab에 의미있는 값을 생성 (그리고 명시 적으로보고)을 관리하지 않는 기본 수치 통합을 사용 : 다른 알고리즘을 사용하여,하지만 약간의 성공을 $\tanh(\sinh)$ 치환 및 Gauss-Legendre 방법은 매우 시끄러운 결과를 생성하지만이 그래프는 다음과 같이 새들 포인트 방법이 제공하는 값 주위에서 약간 진동하는 경향이 있습니다.

마지막으로 구현 한 중요도 샘플을 사용하여 Monte-Carlo 통합 자와 함께 운을 시험해 보았지만 안정적인 결과를 얻지 못했습니다.

$\lambda > 1$ 정도 의 고정 값에 대해이 적분을 독립적으로 평가할 수있는 방법을 아는 사람이 있습니까?

Plancherel의 정리 를 사용 하여이 적분을 평가하십시오.

기본 아이디어는 두 함수 $f,g$ ,

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g^*(x)dx = \int_{-\infty}^{\infty} F(k) G^*(k) dk$$

$F,G$$f,g$$\sin x / x \rightarrow \text{rect}(k)$$\cos(\lambda\cos x)$$\lambda$$|J_n(x)|$$n>|x|$

$\pi J_0(\lambda)$$[0,2\pi]$

진동 적분의 평가의 핵심은 올바른 지점에서 적분을 자르는 것입니다. 이 예에서는 형식의 상한을 선택해야합니다.

$$\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$

무증상

$$I(\lambda) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}\left[\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right) + c_1 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda} + c_2 \frac{\cos\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^2} + c_3 \frac{\sin\left(\lambda-\frac{\pi}{4}\right)}{\lambda^3} + \dots \right]$$ $c_1 = \frac{1}{8}$

int := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, 20.5*Pi}]; 
Plot[{l*(Sqrt[2*l/Pi]*int - Cos[l-Pi/4]), Sin[l-Pi/4]/8}, {l, Pi/4, 20}]

출력으로 당신은 위에서 얻은 것과 일치하는 아주 좋은 사인을 얻습니다.

다음 계수를 찾으려면 필요한 경우 조금 더 복잡한 코드 조각을 찾으십시오. 아래 코드의 개념은 상한값을 여러 개 사용하여 결과를 "평균화"하는 것입니다.

J[l_?NumericQ] := Block[{n=500},
  f[k_] := NIntegrate[Cos[l*Cos[x]]*Sinc[x], {x,0,(n+k)*Pi+Pi/2},
  Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->14, MaxRecursion->100];
  1/2*((f[0]+f[1])/2+(f[1]+f[2])/2)
]
t = Table[{l, l^2*(Sqrt[2*l/Pi]*J[l] - Cos[l-Pi/4] - 1/8*Sin[l-Pi/4]/l)}, 
    {l, 4*Pi+Pi/4, 12*Pi+Pi/4, Pi/36}];
Fit[t, Table[Cos[l-Pi/4+Pi/2*n]/l^n, {n, 0, 10}], l]

$$\boxed{ \boxed{ c_2 = -\frac{9}{128}, \qquad c_3 = -\frac{75}{1024}, \qquad c_4 = \frac{3675}{32768}, \quad\dots }}$$

설명

간단한 예

$$S(x) = \int_{0}^x \frac{\sin(y)}{y} dy.$$ $S(\infty)=\frac{\pi}{2}$

$S(x)$

$$S_N = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{n}.$$ $$S \approx S_N + \frac{1}{2}\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}.$$ $$S(x) \approx \int_0^{\pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x}dx$$ $\max |S'(x)|$

너의 문제

$$I_{x_0}(\lambda) = 2\int_{0}^{x_0}\cos\left(\lambda\cos(x)\right)\operatorname{sinc}(x)dx$$ $x_0 = \pi\mathbb{N}+\frac{\pi}{2}$$\lambda = 12\pi$

tab = Table[{x0, 2*NIntegrate[Cos[12*Pi*Cos[x]]*Sinc[x], {x, 0, x0}, 
     Method->{"DoubleExponential"}, AccuracyGoal->12, MaxRecursion->100]},
    {x0, 10*Pi+Pi/2, 30*Pi+Pi/2, Pi}];
tab1 = Table[(tab[[i]] + tab[[i+1]])/2, {i,1,Length[tab]-1}];
ListPlot[{tab, tab1}]

$$S_N' = \frac{1}{2}(S_N+S_{N+1})$$ $S_N'$

푸리에 사인 적분에 대한 Ooura의 방법은 여기에서 작동합니다.

Ooura, Takuya 및 Masatake Mori 는 푸리에 형 적분을위한 강력한 이중 지수 공식입니다. 전산 및 응용 수학 저널 112.1-2 (1999) : 229-241.

나는 이 알고리즘 의 구현 을 썼지 만 (캐싱 노드 / 가중치를 말함으로써) 빨리 끝내기 위해 결코 노력하지는 않았지만 그럼에도 불구하고 float 정밀도 이상의 모든 것에서 일관된 결과를 얻고 있습니다.

float     = 0.0154244
double    = 0.943661538060268
long dbl  = 0.943661538066058702
quad      = 0.943661538066060288748574485677942
oct       = 0.943661538066060288748574485680878906503533004997613278231689169604876
asymptotic= 0.944029734

코드는 다음과 같습니다.

#include <iostream>
#include <boost/math/quadrature/ooura_fourier_integrals.hpp>
#include <boost/math/constants/constants.hpp>
#include <boost/multiprecision/float128.hpp>
#include <boost/multiprecision/cpp_bin_float.hpp>

template<class Real>
Real asymptotic(Real lambda) {
    using std::sin;
    using std::cos;
    using boost::math::constants::pi;
    Real I1 = cos(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/lambda);
    Real I2 = sin(lambda - pi<Real>()/4)*sqrt(2*pi<Real>()/(lambda*lambda*lambda))/8;
    return I1 + I2;
}

template<class Real>
Real osc(Real lambda) {
    using std::cos;
    using boost::math::quadrature::ooura_fourier_sin;
    auto f = [&lambda](Real x)->Real { return cos(lambda*cos(x))/x; };
    Real omega = 1;
    Real Is = ooura_fourier_sin<decltype(f), Real>(f, omega);
    return 2*Is;
}

template<class Real>
void print(Real val) {
   std::cout << std::defaultfloat;
   std::cout << std::setprecision(std::numeric_limits<Real>::digits10);
   std::cout <<  val <<  " = " << std::hexfloat << val;
}

int main() {
    using boost::multiprecision::float128;
    float128  s = 7;
    std::cout << "Asymptotic = " << std::setprecision(std::numeric_limits<float128>::digits10) << asymptotic(s) << "\n";
    std::cout << "float precision = ";
    print(osc(7.0f));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "double precision= ";
    print(osc(7.0));
    std::cout << "\n";
    std::cout << "long double     = ";
    print(osc(7.0L));
    std::cout << "\n";
    print(osc(s));

    print(osc(boost::multiprecision::cpp_bin_float_oct(7)));
    std::cout << "\n";
}

$\lambda\to 0$