수학적으로 왜 질량 행렬 / 부하 벡터 덩어리가 작동합니까?

나는 사람들이 종종 일관된 질량 행렬을 덩어리 대각선 행렬로 대체한다는 것을 알고 있습니다. 과거에는로드 벡터가 FEM 일관된 방식이 아닌 일괄 방식으로 조립되는 코드도 구현했습니다. 그러나 나는 왜 우리가 처음에 이것을 할 수 있는지 조사하지 않았습니다.

질량 및 하중 벡터에 적용 할 수있는 덩어리의 직관은 무엇입니까? 그것에 대한 수학적 정당성은 무엇입니까? 어떤 상황에서 덩어리가 허용되지 않거나 질량 및 하중 벡터에 대한 근사치가 아닌가?

유한 요소법에서 행렬 항목과 오른쪽 항목은 적분으로 정의됩니다. 일반적으로이를 정확하게 계산할 수없고 구적법을 적용 할 수 없습니다. 그러나 선택할 수있는 많은 직교 공식이 있으며, (i) 직교에 의해 발생 된 오류가 이산화로 인한 순서와 동일하거나 적어도 실질적으로 더 나쁘지 않은 방식으로 선택하는 경우가 많습니다. (ii) 매트릭스에는 편리한 것으로 밝혀진 특정 속성이 있습니다.

질량 집중은이 작업의 예입니다. 특정 직교 식 (즉, 유한 요소의 보간 점에 직교 점이있는 식)을 선택하면 결과 질량 행렬이 대각선이됩니다. 그것은 계산 구현과 사람들이 이러한 직교 공식을 사용하는 이유에 매우 편리합니다. 그것이 "작동하는"이유이기도합니다.이 특정한 구적법 선택은 여전히 ​​합리적으로 높은 순서를 가지고 있습니다.

대각선 행렬이 수치 계산을 가속화에 분명한 장점이 있고, 볼프강 Bangerth의 대답이 방법의 좋은 설명입니다 계산 대각 질량 행렬을하지만 "이하지 왜 OP의 질문에 대답하지 않는 작업 의 의미를" "왜 그것은 당신이 모델링하고있는 물리학에 대한 근사치입니다. "

개념적으로 요소의 응답을 강체의 병진 운동, 요소 질량 중심에 대한 강성 회전 및 요소의 변형 등 세 부분으로 분리 할 수 ​​있습니다.

원소 질량 매트릭스의 기본 기능은 원소 KE를 2 차 형태로 표현하는 것입니다 (예 : 여기서 는 노드 속도입니다).$\frac 1 2 v^T M v$$v$

요소 크기가 감소함에 따라 강체 회전으로 인한 KE의 기여도는 변환의 기여보다 빠르게 감소합니다 (일반 선형 크기가 인 솔리드 요소의 경우 질량은 비례 하지만 관성 모멘트는 비례 하고 요소 변형으로 인한 기여는 무시할 만합니다 (적어도 작은 탄성 변형 문제에 대해서는).$a$3 5$a^3$$a^5$

따라서 모션의 강체 부분 (예 : 6 DOF)에 대한 "양호한"근사치 만 필요하며 실제로 강체 변환 (예 : 3 DOF) 의 KE에만 대한 근사치 만 요소 크기가 수렴됨에 따라 수렴됩니다. 줄인.

요소 행렬의 대각선 항에는 충분한 정확도로 3 개 또는 6 개의 KE 항을 나타내기에 충분한 독립 매개 변수가 포함됩니다. 실제로 고차 요소의 경우 중간 노드의 대각선 항이 0 인 질량 대각선 질량 행렬을 사용할 수 있습니다.

이것은 강체 변환 및 회전의 기여가 0 인 요소 전위 에너지와 완전히 다른 상황이며, 중요한 것은 요소 변형에 해당하는 변형 에너지를 나타내는 것입니다 . 따라서 대각선 강성 매트릭스는 실현 가능한 아이디어가 아닙니다 !

다른 답변 외에도 질량 행렬의 오류가 원하는 결과에 영향을 미치지 않는 시나리오가 있습니다.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 동적 물리적 행동에 대한 추론은 물론 "올바른"질량 매트릭스를 사용하면 더 쉽습니다. 예를 들어, 각 운동량은 덩어리 질량 매트릭스에 의해 잘못 보존 될 수 있습니다.}