부동 소수점 숫자의 상대 비교

나는 수치 기능이 f(x, y)구현 몇 가지 공식과 나는 그것이 모든 매개 변수 조합에 대한 분석 표현에 대한 올바른지 확인하려는 이중 부동 소수점 숫자 반환 x과 y나는에 관심이 있습니다. 무엇을 계산하고 비교하는 적절한 방법입니다 분석 부동 소수점 숫자?

두 숫자가 a및 라고 가정 해 보겠습니다 b. 지금까지 절대 abs(a-b) < eps( abs(a-b)/max(abs(a), abs(b)) < eps) 오류 와 상대 ( ) 오류가 모두 eps 미만 인지 확인했습니다 . 그렇게하면 숫자가 1e-20 정도라고해도 수치 부정확성을 잡을 수 있습니다.

그러나 오늘 문제를 발견했습니다. 숫자 값 a과 분석 값 b은 다음 과 같습니다.

In [47]: a                                                                     
Out[47]: 5.9781943146790832e-322

In [48]: b                                                                     
Out[48]: 6.0276008792632078e-322

In [50]: abs(a-b)                                                              
Out[50]: 4.9406564584124654e-324

In [52]: abs(a-b) / max(a, b)                                                  
Out[52]: 0.0081967213114754103

따라서 절대 오차 [50]은 (분명히) 작지만 상대 오차 [52]는 큽니다. 그래서 프로그램에 버그가 있다고 생각했습니다. 디버깅을 통해 이러한 숫자가 비정상 임을 깨달았습니다 . 따라서 적절한 상대 비교를 수행하기 위해 다음 루틴을 작성했습니다.

real(dp) elemental function rel_error(a, b) result(r)
real(dp), intent(in) :: a, b
real(dp) :: m, d
d = abs(a-b)
m = max(abs(a), abs(b))
if (d < tiny(1._dp)) then
    r = 0
else
    r = d / m
end if
end function

어디 tiny(1._dp)내 컴퓨터에 2.22507385850720138E-308을 반환합니다. 이제 모든 것이 작동하고 상대 오류로 단순히 0을 얻습니다. 특히, 상기 상대 오차 [52]는 틀리며, 이는 비정규 수의 정확도가 불충분하기 때문입니다. 내 구현입니까rel_error함수의 정확합니까? abs(a-b)작은 것보다 작은 지 확인하고 (= 비정상) 0을 반환해야합니까? 아니면 다른 조합을 확인해야 max(abs(a), abs(b))합니까?

나는 "적절한"방법이 무엇인지 알고 싶습니다.

직접 사용하여 비정규을 확인할 수 있습니다 isnormal()에서 math.h(나중에 C99 이상, POSIX.1 또는). 포트란에서 모듈이ieee_arithmetic 을 사용할 수있는 경우ieee_is_normal() . 퍼지 평등에 대해 더 정확하게하려면 비정규의 부동 소수점 표현을 고려해야하고 결과가 충분하다는 의미를 결정해야합니다.

더 중요한 것은 두 결과가 모두 정확하다고 생각하려면 중간 단계에서 너무 많은 숫자를 잃지 않았 음을 확신해야합니다. 비정상적으로 계산하는 것은 일반적으로 신뢰할 수 없으며 알고리즘의 내부 크기를 조정하여 피해야합니다. 내부 스케일링이 성공적으로 수행되도록하려면 부동 소수점 예외를 활성화하는 것이 좋습니다.feenableexcept() C99 또는 ieee_arithmeticFortran 의 모듈 과 함께 .

부동 소수점 예외에서 발생하는 신호를 응용 프로그램에서 잡을 수는 있지만 하드웨어 커널을 재설정하려고 시도한 모든 커널 fetestexcept()은 유용한 결과를 반환하지 않습니다. 로 실행하면 -fp_trapPETSc 프로그램은 부동 소수점 오류가 발생하면 기본적으로 스택 추적을 인쇄하지만 문제를 일으키는 행을 식별하지는 않습니다. 디버거에서 실행하는 경우 디버거는 하드웨어 플래그를 유지하고 문제가되는 식에서 중단됩니다. fetestexcept결과가 다음 플래그의 비트 단위 OR 인 디버거에서 호출하여 정확한 이유를 확인할 수 있습니다 (값은 시스템마다 다를 수 있습니다 ( fenv.h이 값은 glibc가있는 x86-64에 해당) 참조).

• FE_INVALID = 0x1
• FE_DIVBYZERO = 0x4
• FE_OVERFLOW = 0x8
• FE_UNDERFLOW = 0x10
• FE_INEXACT = 0x20

Donald Knuth는 "컴퓨터 프로그래밍 기술"의 2 권 "Seminumerical algorithms"에서 부동 소수점 비교 알고리즘을 제안했습니다. 그것은 C에 의해 Th에 의해 구현되었습니다. Belding ( fcmp 패키지 참조 )이며 GSL 에서 사용할 수 있습니다 .

최적으로 반올림 된 비정규 화 된 숫자는 실제로 상대적 오류가 높을 수 있습니다. (상대 오류라고 부르면서 0으로 플러시하는 것은 잘못된 것입니다.)

그러나 0에 가까워지면 상대 침식 계산은 의미가 없습니다.

따라서 비정규 화 된 숫자에 도달하기 전에도 절대 정확도 (이 경우 보장하려는 것)로 전환해야합니다.

$y$$x$$|y-x|\le absacc+relacc*\max(|x|,|y|)$ . relacc = 1e-12 및 absacc = 1e-150으로 말하십시오.

그런 다음 코드 사용자는 실제 정확도를 정확하게 알고 있습니다.