증강 된 라그랑지안을위한 효율적인 전제 조건

비선형 평등 제약으로 비선형 문제를 해결하고 싶습니다. 그리고 알려진 Lagrangian을 페널티 정규화 용어와 함께 사용하고 있습니다. . 페널티 기간이 클수록 조건 수가 나빠집니다. 누군가가 특정 상황 에서이 나쁜 컨디셔닝을 제거하는 효율적인 방법을 알고 있습니까?

좀 더 구체적으로 말하면, 나는 일반적으로 중복 될 수있는 제약 조건이 많기 때문에 고전적인 증강 래그 랑 지안을 사용하고 있습니다. 따라서 맹목적으로 제약 변수를 맹목적으로 통합하는 것이 매우 편리합니다. KKT 시스템에서 직접 가변 제거 또는 효율적인 전제 조건을 기반으로 한 다른보다 정교한 접근법을 시도했지만 제약 조건 중복으로 인해 몇 가지 문제가 있습니다.

변수 와 관련된 문제 는 L ( u , λ ) 형식으로 내 라그랑지안을 따르도록 공식화됩니다 . = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

따라서 일반적으로 각 뉴턴의 목적은 반복 형태의 문제를 해결하기 Δ 유 = b를 (우리는 제약 헤센 방울)를가 ( U , ρ를 ) : = ∇ 2 U W ( U ) + ρ C T ( u ) C ( u ) 및 b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) + (

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ 및 자본 C가 의미한다 C ( U ) : = ∇ U C ( U ) . $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

감사합니다.

문제 구조에 따라 조건이 잘못된 Augmented Lagrangian 시스템을 직접 해결할 수 있습니다. 예를 들어, BDDC / FETI-DP는 Poisson 비율과 독립적 인 수렴 률 (하위 도메인에서 조각상 수는 있지만 임의의 점프)을 사용하여 거의 압축 할 수없는 탄성을 기본 형태로 해결할 수 있습니다. 마찬가지로, 체적 모드를 정확하게 재현하는 멀티 그리드 메서드는이 속성을 가질 수 있습니다. 이러한 방법은 문제에 따라 다르며 일반적으로 큰 불이익은 전제 조건이 어려운 시스템을 초래합니다.

전제 조건 선택에서 더 많은 유연성을 허용하려면 명시적인 이중 변수를 도입하고 더 큰 새들 포인트 시스템을 작성하는 것이 좋습니다

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

문제의 원인에 대해 더 구체적으로 설명 할 수있는 경우 (최소한 것 및 제약 조건은 무엇입니까) 더 구체적인 참조를 제안 할 수 있습니다.

KT 조건에서 부패 항에 대한 추가 변수를 도입하면 형벌 계수의 역수 만 행렬에 입력하여 수치 적으로 잘 작동하는 더 큰 대칭 시스템을 찾을 수 있습니다.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$