3D 4 노드 요소에 다항식을 통합하는 방법은 무엇입니까?

3 노드의 4 노드 요소에 다항식을 통합하고 싶습니다. FEA에 관한 몇 권의 책은 임의의 평평한 4-noned 요소에 대해 통합이 수행되는 경우를 다룹니다. 이 경우 일반적인 절차는 Jacobi 행렬을 찾아 적분 기준을 더 간단한 적분 한계 [-1; 1]가 있고 가우스 레전드 르 직교 기법이 쉽게 사용되는 정규화 된 것으로 변경하는 결정 요인을 사용하는 것입니다.

다시 말해 $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$$\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

그러나 2D의 경우 평평한 임의의 요소를 평평한 1이지만 잘 모양의 정사각형 2로 2로 변경합니다.

3D 4 노드 요소는 일반적으로 평평하지 않지만 여전히 직교 좌표계와 관련이있는 2D 좌표계로 매핑 할 수 있다고 가정합니다. {e, n}의 관점에서 {x, y, z}를 표현하는 방법 과이 경우 Jacobi 행렬의 크기는 무엇인지 알 수 없습니다 (정사각형이어야 함).

;에 포함 된 2 차원 매니 폴드에 함수를 통합하고 있습니다 . 매니 폴드 분석 자료 (Munkres의 접근 가능한 서적 또는 Lee의 매니 폴드에 관한 서적)는 이러한 유형의 적분을 정의하는 이론을 논의하는 데 도움이됩니다.$\mathbb{R}^{3}$

가 4 노드 3 차원 요소 인 매니 폴드 에 정의 된 실제 값 함수 라고 가정합니다 .$f$$\mathcal{M}$

당신은 계산하고 싶습니다 :

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

가 를 매핑하는 함수 라고 가정합니다 . 그때$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

(내가 사용하는 노트의 집합을 위. 내 기억을 새로 고침) 의 자 코비안 행렬이다 , 그리고 의 전치입니다.$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

대해 적분을 작성하면 수치 방법을 사용하여이를 평가할 수 있습니다.$[-1,1]^{2}$

일부 의견 :

• 귀하의 4 노드 3 차원 요소는 매니 폴드입니다. 그렇다면 함수 가 존재하며 (정의에 따라) 부분적으로 연속적이며 (토폴로지 매니 폴드의 경우) 뒤집을 수 없습니다. 이러한 속성을 가진 함수를 찾는 것은 당신에게 달려 있습니다.$\varphi$
• 위의 인수는 이 부드러운 매니 폴드 라고 가정하며 , 이는 지속적으로 차별화 할 수 있는 가 있음을 의미합니다 . 귀하의 경우 설명하는 요소가 지속적으로 차별화되지 않을 수 있습니다. 이것이 사실이라면, 매니 폴드를 두 개의 부드러운 매니 폴드로 분할 할 수 있으며, 위의 주장은 여전히 ​​유효합니다. 다시 한번, 가역성과 연속적인 미분 특성을 만족시키는 를 찾아야합니다 .$\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$