임의 정확도 확장 가능한 로프 시뮬레이션

로프 객체를 시뮬레이션하려고합니다. 내가 이해하는 제제는 스프링으로 연결된 입자 배열입니다. 이 스프링은 k 값이 매우 커서 선이 변형되지만 거의 늘어나지 않습니다. 로프는 진자 (닫힌 형태가 아님)의 일반화이므로 닫힌 함수에서는 이것을 시간의 함수로 해결하는 것이 불가능하다는 결론을 내 렸습니다.

그러면 대략적인 솔루션에 정착합니다. 잘 확장되는 알고리즘이 필요합니다. 예에서는 입자를 이동시키기 위해 명시 적 또는 암시 적 Eulerian 통합을 사용하는 것을 보았습니다. 이것은 확장되지 않습니다.

이것을 보려면 n 개의 노드가있는 로프를 고려하십시오. 한쪽 끝에 큰 힘을가하십시오. 로프는 크게 늘어나지 않아야하므로 다른 쪽 끝의 가속도는 즉각적이어야합니다.

그러나 오일러 통합, 얻을 수 있는 다른 쪽 끝은 n 개의 단계가 필요에 힘을. 지수 감소가 나타납니다. 첫 번째 노드가 특정 양을 가속하면 인접한 노드가 덜 가속합니다 (동일한 속도로 가속하면 알고리즘이 안정적이지 않습니다). 따라서, 인접 노드 가 노드도 느린 가속!

따라서 n 개의 노드가 떨어져도 가속은 거의 무시할 수 있습니다. 이로 인해 로프가 크게 늘어납니다. 시뮬레이션 해상도를 두 배로 늘리려면 유사한 동작을 얻기 위해 갑자기 수십 또는 수백 배 더 작은 시간 단계를 수행해야합니다.

이 문제를 해결하는 간단한 방법을 찾고 있습니다. 즉, 높은 해상도 시뮬레이션은 다항식 시간 추가 계산만으로 솔루션에 수렴됩니다. 행렬 및 선형 대수 기법의 전체 라이브러리를 사용할 수 있습니다. 고전 역학에 대한 나의 지식은 매우 좋으며 수치 분석을 알고 있습니다.

우선, Jed Brown 이 언급했듯이, 문제가 상당히 뻣뻣 해 보이 거나 Leapfrog 통합 또는 Verlet 통합 과 같은보다 안정적이고 똑같이 간단한 구성표로 암시 적 타임 스테핑 구성표를 사용해야합니다 .

신체적 문제는 스트레칭에 얼마나 관심이 있습니까? 입자를 뻣뻣한 스프링으로 연결하는 대신 , 균등 구속 조건을 사용 하여 입자 쌍 사이의 거리를 일정하게 유지할 수 있습니다. 제약 조건은 각 시간 단계마다 해결되어야하며 정확하게 설정하기위한 효율적인 알고리즘, 즉 긴 링크 체인 제약 조건이 있습니다. 예를 들어이 백서 를 참조하십시오 .

호기심에서 로프의 길이를 따라 각도 전위를 사용하여 유연성을 모델링하고 있습니까?

현재 공식에 딱 맞는 시스템이 있습니다. 끈의 역동적 인 스트레칭과 진동은 (아마도) 흥미롭지 않지만, 명백한 시간 단계를 제어합니다. 이것은 내재 된 시간 통합 방법을 사용함을 나타냅니다. 댐핑을 사용하여 암시 적 방법에 대한 적응 형 오류 제어를 망칠 경향이있는 진동을 방지 할 수 있습니다.

미세 진동이 단계를 넘어 가고 싶지만 모델링에 중요한 경우 (예 : 피로 모델링) 이기종 멀티 스케일 방법 (Engquist, Tsai 등) 또는 세미- 시간 방법의 스펙트럼. 이러한 방법을 사용하는 것은 연구 수준의 주제이므로 문제의 여부와 방법의 능력을 잘 이해하여 적절한 지 여부를 결정해야합니다. 예를 들어 특정 진동 모드가 소멸되지 않아야하는 에너지를 절약하려면 Verlet과 같은 상징적 인 통합기를 살펴보십시오.

원하는 경우 제로 스트레치 한계를 해결할 수도 있습니다. 관성 항을 사용하면 모델을 각도로 재구성하여 강성이 아닌 ODE 시스템을 만들 수 있습니다. faleichik이 지적했듯이, 이것은 ROPEHairer, Nørsett 및 Wanner의 책에서 고려 된 테스트 문제입니다. 로프 자체의 관성을 버리지 만 느슨 함 (이산 하중의 가볍고 스트레치 로프, 일반적인 모델이 아님)을 허용하면 문제가 차등 불평등 (DVI)이되고 일반적으로 1 차 정확도보다 나을 수 없습니다. 시각.

빠르고 근사한 솔루션에 관심이있는 경우 이산 차등 형상과 같은 디지털 효과에 사용 된 방법이 유용 할 수 있습니다. 컬럼비아 대학교 Grinspun 그룹의 2008 년 논문 인 Discrete Elastic Rods 의 준 정적 공식을 알고 있지만이 분야에 더 최근의 문헌이있을 것입니다.

교수형 밧줄의 움직임은 Hairer와 Wanner가 사랑하는 테스트 문제로, "정상 미분 방정식 풀기"의 두 번째 (딱딱한) 볼륨과 첫 번째 볼륨 (1993)의 두 번째 에디션에 나타납니다. 마지막 옵션 인 247 페이지를 추천합니다. 방정식을 도출하는 것은 까다 롭고 수치 해법 알고리즘은 그리 간단하지 않습니다. 마지막에는 DOPRI, RK45 또는 ODEX와 같은 기존의 명시 적 타임 스테퍼가 적용되고 꽤 잘 작동하므로 문제가 실제로 딱딱하지는 않습니다.