'0'으로 나눌 수있는 숫자 통합


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통합하려고합니다

01t2n+2exp(αr0t)dt

이것은 간단한 변환입니다

1x2nexp(αr0x)dx

사용 t=1x부적절한 적분을 수치 적으로 근사하기가 어렵 기 때문입니다. 그러나 이로 인해 새로운 정수를 거의 0으로 평가하는 문제가 발생합니다. 간격이 길이가 1이므로 적절한 구적 노드 수를 얻는 것이 매우 쉽습니다 (따라서 비슷한dt 아주 작게 만들 수 있습니다), 0에 가깝게 통합 할 때 어떤 종류의 고려 사항을 고려해야합니까?

어느 정도는 단순히 ϵ1t2n+2exp(αr0t)dt 좋은 생각입니다 ϵ작은 숫자입니다. 그러나 어떤 숫자를 선택해야합니까? 기계 입실론이어야합니까? 기계 엡실론에 의한 구분은 잘 정량화 된 수치입니까? 또한, 내 기계 엡실론 (또는 그 근처)을 나누면 엄청나게 많은 숫자가 나오면exp(1ϵ) 더 커질 것입니다.

이것을 어떻게 설명해야합니까? 이 함수의 수치 적분을 정의하는 방법이 있습니까? 그렇지 않은 경우 기능을 통합하는 가장 좋은 방법은 무엇입니까?


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Monte Carlo 사용을 고려 했습니까?
Faheem Mitha

문제가 해결되지 않을 것 같습니다. Monte Carlo 통합은 종종 고차원 적분을 위해 예약됩니다. 나는 Monte Carlo와 똑같은 문제를 겪을 것입니다. 내 기능이 평가되는 위치를 간단히 제어 할 수는 없습니다.
drjrm3

당신이 옳을 수도 있습니다.
Faheem Mitha

나는 함수가 하나의 한계에서 분기 될 때 수치 적분을 수행하는 방법을 설명하는 대답 (아마도 별도의 더 일반적인 질문에 대한 답변)을 갖는 것이 여전히 좋을 것이라고 생각합니다. 다시 한번, 그것은 수치 조리법에서도 찾을 수 있습니다 ...
David Z

@Faheem : "Monte Carlo는 매우 나쁜 방법입니다. 모든 다른 방법이 더 나쁠 때만 사용해야합니다." -Alan Sokal
JM

답변:


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이는 부품별로 통합하여 수행 할 수 있습니다.

1xeax=1axeax11a1eax=eaa+eaa2=a+1a2ea
그리고 유도에 의해 계속
1xkeax=1axkeax1ka1xk1eax=eaa+ka1xk1eax
so that
I(k)=eaa+kaI(k1)
and I(0)=eaa.

absolutely no idea how i overlooked this. thank you.
drjrm3

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Clever substitutions and integration by parts should always be one of the first things you do with unruly integrals.
J. M.

It's often a good idea to ask a computer algebra system whenever you have an integral like this. Maple evaluates "1x2nexp(αx)dx assuming n::nonnegint,α>0" immediately into Γ(2n+1,α)α2n1; I'm sure Mathematica does the same. (Still a good idea to verify it numerically, of course, which these guys can typically also do.)
Erik P.

Actually Mathematica chooses to represent the answer as ExpIntegralE[-2 n, a r]. If you run FunctionExpand on it, then it gives the same answer as Maple.
Searke

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