'0'으로 나눌 수있는 숫자 통합

통합하려고합니다

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

이것은 간단한 변환입니다

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

사용 $t = \frac1{x}$ 부적절한 적분을 수치 적으로 근사하기가 어렵 기 때문입니다. 그러나 이로 인해 새로운 정수를 거의 0으로 평가하는 문제가 발생합니다. 간격이 길이가 1이므로 적절한 구적 노드 수를 얻는 것이 매우 쉽습니다 (따라서 비슷한 $dt$ 아주 작게 만들 수 있습니다), 0에 가깝게 통합 할 때 어떤 종류의 고려 사항을 고려해야합니까?

어느 정도는 단순히 $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ 좋은 생각입니다 $\epsilon$ 작은 숫자입니다. 그러나 어떤 숫자를 선택해야합니까? 기계 입실론이어야합니까? 기계 엡실론에 의한 구분은 잘 정량화 된 수치입니까? 또한, 내 기계 엡실론 (또는 그 근처)을 나누면 엄청나게 많은 숫자가 나오면 $\exp(\frac{1}{\epsilon})$ 더 커질 것입니다.

이것을 어떻게 설명해야합니까? 이 함수의 수치 적분을 정의하는 방법이 있습니까? 그렇지 않은 경우 기능을 통합하는 가장 좋은 방법은 무엇입니까?

quadrature accuracy

— drjrm3
소스

Monte Carlo 사용을 고려 했습니까?

— Faheem Mitha

문제가 해결되지 않을 것 같습니다. Monte Carlo 통합은 종종 고차원 적분을 위해 예약됩니다. 나는 Monte Carlo와 똑같은 문제를 겪을 것입니다. 내 기능이 평가되는 위치를 간단히 제어 할 수는 없습니다.

— drjrm3

당신이 옳을 수도 있습니다.

— Faheem Mitha

나는 함수가 하나의 한계에서 분기 될 때 수치 적분을 수행하는 방법을 설명하는 대답 (아마도 별도의 더 일반적인 질문에 대한 답변)을 갖는 것이 여전히 좋을 것이라고 생각합니다. 다시 한번, 그것은 수치 조리법에서도 찾을 수 있습니다 ...

— David Z

@Faheem : "Monte Carlo는 매우 나쁜 방법입니다. 모든 다른 방법이 더 나쁠 때만 사용해야합니다." -Alan Sokal

— JM

답변:

이는 부품별로 통합하여 수행 할 수 있습니다.

\int_{1}^{\infty} x e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{a} \int_{1}^{\infty} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{e^{- a}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}} e^{- a}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$ 그리고 유도에 의해 계속

\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x^{k} e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$ so that

I (k) = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} I (k - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$ and

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$ .

— Matt Knepley
소스

absolutely no idea how i overlooked this. thank you.

— drjrm3

Clever substitutions and integration by parts should always be one of the first things you do with unruly integrals.

— J. M.

It's often a good idea to ask a computer algebra system whenever you have an integral like this. Maple evaluates "

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$ " immediately into

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$ ; I'm sure Mathematica does the same. (Still a good idea to verify it numerically, of course, which these guys can typically also do.)

— Erik P.

Actually Mathematica chooses to represent the answer as ExpIntegralE[-2 n, a r]. If you run FunctionExpand on it, then it gives the same answer as Maple.

— Searke

Have a look at QUADPACK. It has routines for integration over (semi-)infinite domains.

— GertVdE
소스