쌍곡 PDE에 어떤 시간 통합 방법을 사용해야합니까?

쌍곡 PDE의 이산화 (시간과 공간 이산화)를 위해 방법론을 사용하는 경우, 선호하는 수치 적 방법 (fx. 유한 체적 법)에 의해 공간 이산화 후에 얻은 우리는 시간적 이산화에 어떤 ODE 솔버를 사용 하느냐가 실제로 중요합니다. (TVD / SSP / 등)?

일부 추가 정보가 추가되었습니다. 정확성 문제는 매끄러운 문제가 아닌 문제 일 수 있습니다. 비선형 쌍곡 PDE는 초기 솔루션이 매끄러 워도 유한 시간 내에 충격을 발생시킬 수 있으며,이 경우 고차 방법의 경우 정확도가 1 차로 저하 될 수 있음을 잘 알고 있습니다.

ODE 안정성 분석은 일반적으로 선형화를 기반으로 수행하여 q_t = J q (qa 섭동 벡터 포함) 형식의 ODE 선형 반 이산 시스템을 얻습니다. 여기서 J의 고유 값은 선택한 시간의 절대 안정성 영역 내에서 조정되어야합니다. 스테핑 방법. 대안 전략은 pseudospectra 또는 가능하면 에너지 분석 방법을 사용하여 안정성을 분석하는 것입니다.

TVD / SSP 방법에 대한 동기는 시간-스텝핑 방법으로 인한 허위 진동을 피하여 물리적으로 행동하지 않을 수 있음을 이해합니다. 경험상 이러한 유형의 시간-스텝핑 방법이 명시적인 Runge-Kutta 방법 또는 다른 방법과 같은 전통적인 작업 말에 비해 우수하다는 것이 문제인지 여부입니다. 분명히, 솔루션이 충격을 줄 수있는 문제의 클래스에 대해 더 나은 특성을 가져야합니다. 그러므로 우리는 시간 통합을 위해 이러한 유형의 방법만을 사용해야한다고 주장 할 수 있습니다.

여전히 답에 관심이 있는지 모르겠지만 어쨌든 여기에갑니다.

당신은 이미 비선형 방정식에서 충격 형성에 대해 알고 있다고 말했습니다. 이것이 바로 타임 인티 그레이터를 신중하게 선택해야하는 이유입니다. 시간 이산화가 아닌 경우 TVD 공간 이산화를 적용하는 것은 아무 소용이 없습니다. 높은 수치의 플럭스에서 볼 수있는 것과 동일한 진동이 나타납니다.

결론은 앞으로 오일러가 작동한다는 것입니다. 귀하의 질문에 이미 SSP (강한 안정성 보존)를 언급했습니다. 이것을 사용하는 Runge-Kutta 메소드의 특수 클래스입니다. 기본적으로 Euler 단계의 볼록한 조합으로 작성 될 수있는 방법으로 계수를 선택해야합니다. 그렇게하면 TVD와 같은 속성이 유지됩니다.

Gottlieb, Ketcheson 및 Shu의 SSP 분석법에 대한 "Runge-Kutta 및 Multistep Time Discretizations"라는 강력한 링크가 있습니다.

그렇습니다. 걱정해야 할 일반적인 두 가지 :

1. 정확성. 일부 ODE 체계는 다른 것보다 더 정확하고 높은 순서 등입니다. 경험의 규칙은 공간 이산화와 유사한 정확도 순서를 가진 방법을 선택하는 것입니다.

2. 안정. 쌍곡선 문제의 경우 연산자에 순수한 허수 고유 값이있을 것으로 예상되므로 안정성 영역에서 허수 액세스의 일부를 포함하는 ODE 솔버가 필요합니다. 예를 들어 의사 스펙트럼 방법에 대한 실용 가이드 인 Fornberg의 부록 G를 참조하십시오.

쌍곡선 방정식을 사용하면 일부 사람들은 자신의 해가 항상 긍정적임을 보장하기를 원하므로이를 보장하기위한 다양한 종류의 필터와 요령이 있습니다. 그러나 나는 이것에 대해 거의 아무것도 모른다.

나는 전문가와는 거리가 멀지 만 한동안 질문이 왔기 때문에 대답하려고 노력했다.