PDE를 해결할 때 지역 보존이 중요한 이유는 무엇입니까?

엔지니어는 종종 유한 체적, 보수적 유한 차이 또는 불연속 Galerkin 방법과 같은 로컬 보존 적 방법을 사용하여 PDE 해결을 주장합니다.

지역적으로 보수적이지 않은 방법을 사용할 때 무엇이 ​​잘못 될 수 있습니까?

자, 지역 보존은 쌍곡선 PDE에 중요합니다. 타원형 PDE는 어떻습니까?

비선형 쌍곡선 PDE의 솔루션에서 초기 조건이 부드러운 경우에도 불연속성 ( "충격")이 나타납니다. 불연속이있는 경우 솔루션 개념은 약한 의미로만 정의 할 수 있습니다. 충격의 수치 속도는 적용되는 올바른 Rankine-Hugoniot 조건에 따라 달라지며, 이는 지역적으로 통합 보존 법칙을 수치 적으로 만족시키는 것에 달려 있습니다. 락스 - Wendroff 정리 수렴 수치 방법은 쌍곡선 보존 법칙의 약한 솔루션으로 수렴 할 것을 보장 하는 방법이 보수적 인 경우에만.

보수적 인 방법을 사용해야 할뿐만 아니라 실제로 올바른 양 을 절약하는 방법을 사용해야합니다 . LeVeque의 "쌍곡선 문제에 대한 유한 체적 방법", 섹션 11.12 및 섹션 12.9에서이를 설명하는 좋은 예가 있습니다. 버거 방정식을 이산하면

$$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$$

일관된 이산화를 통해

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$$

그리드를 아무리 세분화하더라도 충격이 잘못된 속도로 움직이는 것을 볼 수 있습니다. 즉, 수치 솔루션 은 실제 솔루션으로 수렴되지 않습니다 . 보수적 인 이산화를 대신 사용하는 경우

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$$

플럭스 디 퍼런 싱에 따라 충격은 올바른 속도 (이 방정식의 경우 충격의 왼쪽과 오른쪽 상태의 평균)로 이동합니다. 이 예제는 내가 쓴이 IPython 노트북에 설명되어 있습니다.

선형 쌍곡선 PDE 및 일반적으로 부드러운 솔루션이있는 다른 유형의 PDE의 경우 로컬 보존은 수렴에 필요한 성분이 아닙니다. 그러나 다른 이유로 (예를 들어, 총 질량이 관심 수량 인 경우) 중요 할 수 있습니다.

귀하의 질문에 대한 답변 중 하나는 특정 커뮤니티가 항상 보수적 계획을 사용했기 때문에 "완료된 방식"의 일부가 된 것입니다. 그것이 최선의 방법인지는 논쟁의 여지가 있지만, 영국은 표준 측면에서만 사용하는 것이 더 편리하기 때문에 올바른 방향으로 운전하도록 요구하는 것만 큼 유익합니다.

즉, 유용한 경우가 있습니다. 예를 들어 2 상 다공성 매체 흐름을 생각해보십시오. 이 문제는 일반적으로 다음과 같은 방식으로 제기됩니다 : 여기서 문제의 일부는 전통적으로 Raviart-Thomas 요소를 사용하여 수행되는 작업 인 처음 두 방정식을 구성하는 혼합 라플라스를 해결하는 것입니다. 그것들은 종종 "질량 절약을 보장하는 중요성"때문에 선택되며 어떤 의미에서 나는 질량 보존 적이 지 않은 속도 필드로 끝나는 경우 전체를 보존하지 않는 채도 방정식을 얻습니다. 운반 유체의 질량. 물론 우리는 그것이

$$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$$ $h\rightarrow 0$그러나 유한 메쉬 크기에서도이 속성이 유지되도록하는 것은 어떤 의미가 있습니다.

여러 번 풀어야 할 방정식은 물리적 보존법을 나타냅니다. 예를 들어, 유체 역학에 대한 오일러 방정식은 질량, 운동량 및 에너지 보존을 나타냅니다. 우리가 모델링하는 기본 현실이 보수적이라는 점을 감안할 때 보수적 인 방법을 선택하는 것이 유리합니다

전자기장과 비슷한 것을 볼 수도 있습니다. 맥스웰의 법칙은 자기장의 발산이없는 조건을 포함하지만, 그 방정식이 항상 장의 진화에 사용되는 것은 아닙니다. 이 조건을 유지하는 방법 (예 : 제한된 전송)은 실제 물리와 일치하는 데 도움이됩니다.

편집 : @hardmath는 질문의 "무엇이 잘못 될 수 있는지"를 잊어 버렸다고 지적했습니다 (감사합니다!). 이 질문은 특히 엔지니어와 관련이 있지만 내 분야 (천체 물리학)의 몇 가지 예를 제공하고 엔지니어링 응용 프로그램에서 잘못 될 수있는 일을 일반화 할 수있는 아이디어를 설명하는 데 도움이되기를 바랍니다.

(1) 초신성을 시뮬레이션 할 때, 당신은 핵 반응 네트워크 (및 다른 물리학)와 연결된 유체 역학을 가지고 있지만 우리는 그것을 무시할 것입니다. 많은 핵 반응은 온도에 크게 의존하며, 이는 1 차 근사치로 에너지의 일부 척도입니다. 에너지를 절약하지 못하면 온도가 너무 높아 (이 경우 반응이 너무 빠르게 실행되고 훨씬 더 많은 에너지가 유입되어 존재하지 않아야하는 런 어웨이가 발생 함) 너무 낮게 (이 경우 반응이 발생 함) 너무 느리게 실행하면 초신성을 강화할 수 없습니다).

(2) 이진 별을 시뮬레이션 할 때 각 운동량을 보존하기 위해 운동량 방정식을 다시 변환해야합니다. 각 운동량을 보존하지 못하면 별들이 서로 올바르게 공전 할 수 없습니다. 그들이 추가 각 운동량을 얻는다면, 그들은 분리되고 올바르게 상호 작용을 멈 춥니 다. 각운동량을 잃으면 서로 충돌합니다. 별 모양의 디스크를 시뮬레이션 할 때 비슷한 문제가 발생합니다. 물리 법칙이 선형 운동량을 보존하기 때문에 (선형) 운동량을 보존하는 것이 바람직하지만 때로는 선형 운동량을 포기하고 각 운동량을 보존해야합니다.

자기장의 발산이없는 조건을 언급 했음에도 불구하고 나는 거기에 대해 잘 모른다. 발산이없는 상태를 유지하지 못하면 자기 모노폴 (현재의 증거는 없음)을 생성 할 수 있지만 시뮬레이션에서 발생할 수있는 문제에 대한 좋은 예는 없습니다.

오늘 저는 Navier-Stokes 시뮬레이션을위한 EMAC 체계와 블러 프 바디를 통과하는 응용 프로그램을 살펴보고 1.2 절에서 OP의 질문에 적어도 부분적으로 답합니다. 관련 부품은 다음과 같습니다.

CFD (computational fluid dynamics ) 커뮤니티에서는 이산에 물리학이 많을수록 특히 더 긴 시간 간격에 걸쳐 이산 솔루션이 더 정확하고 안정적 이라고 믿고 있습니다. 1959 년 N. Phillips [42] 는 대류 항의 장시간 적분으로 인해 모든 시간 단계에서 수치 시뮬레이션이 실패하는 기압 비선형 와동 방정식 (유한 차분 방식을 사용)의 예를 구성했습니다. 에서는 [4] Arakawa는 운동 에너지와 엔트로피 (2D)가 이산화 계획에 의해 보존된다면 오랜 시간에 걸친 통합으로 불안정성 문제를 피할 수 있음을 보여주었습니다. … 2004 년 Liu와 Wang은 3 차원 흐름을 위해 건강과 에너지를 보존하는 것을 개발했습니다. 에서는 [35] , 이들은 대칭 유동을위한 에너지와 나선 성 보존하는 방식을 제시한다. 또한 이중 보전 방식으로 큰 비 물리적 수치 점도가 필요하지 않음을 보여줍니다. …

… CFD에서 수십 년 동안 유한 요소 체계에 의해 더 많은 물리량이 보존 될수록, 특히 오랜 시간 간격에 걸쳐 더 정확한 예측이 이루어집니다. 따라서보다 물리적으로 정확한 방식으로 제공되는 솔루션도 물리적으로 더 적합합니다. 완전히 해결 된 메쉬와 무한히 작은 시간 단계를 감당할 수 있다면, 일반적으로 사용되는 모든 유한 요소 체계는 동일한 수치 솔루션을 제공하는 것으로 생각됩니다. 그러나 실제로는 시간에 따른 문제에 대해 3D 시뮬레이션에서 완전히 해결 된 메시를 감당할 수 없습니다. 예를 들어, 2 장에서 우리는 50-60,000 개의 시간 단계가 필요하며, 여기서 각 시간 단계는 4 백만 개의 미지의 희소 선형 시스템을 풀어야합니다. 여기에는 각각 24 개의 코어가있는 5 개의 노드에서 병렬 코드가 높은 2-3 주간의 계산 시간이 필요했습니다.