이방성 경계 메쉬를 사용하여 압축 할 수없는 흐름에 어떤 공간 이산화가 작동합니까?

레이놀즈 수가 많으면 매우 얇은 경계층이 생성됩니다. Large Eddy Simulation에서 벽 해상도를 사용하는 경우 종횡비는 정도일 수 있습니다 $10^6$ . 이 정권에서는 종횡비의 제곱근이 나빠질수록 주입 상수가 저하되기 때문에 많은 방법이 불안정 해집니다. inf-sup 상수는 선형 시스템의 조건 수와 이산 솔루션의 근사 특성에 영향을주기 때문에 중요합니다. 특히, 다음과 같은 불연속 오류 보류에 대한 선험적 한계 (Brezzi and Fortin 1991)

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

여기서 는 동적 점도이고 는 inf-sup 상수입니다. 이로부터 우리는 같은 것을 볼 수 , 속도 및 (특히) 압력 근사치 유한 요소 공간에서 사용할 수있는 가장 좋은보다 더된다 (즉, 갤러의 최적의 상수로 성장 과 ). $\mu$ $\beta$ $\beta \to 0$ $\beta^{-1}$ $\beta^{-2}$

종횡비와 무관하게 균일 한 주입 안정성을 갖는 방법은 무엇입니까?

이 중 어느 것이 구조화되지 않은 메시와 함께 사용될 수 있습니까?

추정치는 어떻게 고차 근사치로 일반화됩니까?

— 제드 브라운
소스

MAC 유한 차이 체계 (Harlow and Welch 1965)는 균일하지만 안정적이지만 구조화 된 격자가 필요하며 2 차 정확도입니다.

유한 요소 방법은 비정형 및 고차 방법에 적합합니다. 연속적인 Galerkin 유한 요소 방법의 경우 최적의 근사 특성을 가지며 균일하게 안정적인 알려진 공간이 없습니다.

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ 은 최적의 근사 특성을 가지며 국소 적으로 보수적이지만 종횡비의 제곱근에 따라 inf-sup 상수가 저하됩니다. 자세한 내용은 Bernardi & Maday 1999를 참조하십시오.
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ 은 종횡비와 관계없이 inf-sup 상수가 있으며 로컬에서 보수적이지만 inf-sup 상수는 쉐이프 레귤러 메시에서 다항식 차수가 증가함에 따라 . 매달린 노드 또는 재진입 코너가있는 메시의 경우이 범위는 2D에서는 급격하지만 (Schoetzau et al 1998) 3D에서는 -3/2 로 더욱 저하됩니다 (Toselli & Schwab 2003). $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
Rannacher & Turek 1994 의 회전 된 부적합 요소는 균일하고 안정적이며 최적의 근사 특성을 가지며 국부적으로 보수적이지만 불연속 Korn의 불평등을 만족시키지 않으므로 일부 경계 조건에 대한 경계 수정이 필요하며 사용할 수 없습니다. 가변 점도 흐름. 이후 저자들은 엣지 플럭스를 사용하여 이러한 방법을 안정화시키기 위해 노력했지만, 결과적인 이산화는 많은 매력적인 효율 특성을 잃습니다. $Q_1-P_0$
Ainsworth와 Coggins 2000은 다소 더 나은 기술 공간을 구축하지만 유용성이 제한적인 것으로 보입니다.

불연속 Galerkin의 경우 그림이 다소 좋습니다.

불연속 공간 은 균일하고 안정적이며 최적의 근사 특성을 가지고 있습니다 (Schoetzau, Schwab 및 Toselli 2004). 연속 속도 공간에서는이 조합을 사용할 수 없습니다. inf-sup 상수는 여전히 다항식 정도에 따라 달라 지지만 로 스케일링됩니다 . $Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

— 제드 브라운
소스