PDE 시뮬레이션 전체에서 물리량을 양수로 유지할 수있는 방법은 무엇입니까?

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압력, 밀도, 에너지, 온도 및 농도와 같은 물리량은 항상 양수 여야하지만 숫자 방법은 때때로 솔루션 프로세스 중에 음수 값을 계산합니다. 방정식이 복잡하거나 무한한 값 (일반적으로 코드 충돌)을 계산하기 때문에 이것은 좋지 않습니다. 이러한 양이 양을 유지하기 위해 어떤 수치 방법을 사용할 수 있습니까? 다음 중 가장 효율적인 방법은 무엇입니까?

pde fluid-dynamics hyperbolic-pde

— 제드 브라운
소스

관심있는 PDE의 종류를 지정하는 데 도움이 될 수 있습니다. 아래 답변은 주로 쌍곡 PDE와 관련이 있습니다.

— David Ketcheson

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가장 일반적인 방법은 음수 값을 작고 양수로 재설정하는 것입니다. 물론 이것은 수학적으로 건전한 솔루션이 아닙니다. 효과적이고 쉬운 방법은 시간 단계의 크기를 줄이는 것입니다.

충격의 모양이 진동을 유발할 수 있기 때문에 쌍곡 형 PDE의 솔루션에서 음수 값이 발생하는 경우가 있습니다. 사용하여 A 전체 변동 점감 (TVD) 또는 다른 비 - 진동 ( ENO, 웨노 ) 방법은 이러한 경향을 감소시킬 수있다. 이러한 방법은 비선형 리미터를 사용하여 솔루션의 파생물을 계산합니다. 그러나 여러 가지 이유로 여전히 음수 값을 얻을 수 있습니다 .

라인 방법을 사용하고 고차 시간 적분기를 적용하는 경우. 대부분의 TVD 방식은 반이 산적 의미 또는 Euler의 방식으로 만 TVD 일 가능성이 높습니다. 더 높은 주문 시간 통합을 위해서는 강력한 안정성 보존 (SSP) 시간 이산화를 사용해야합니다. 이러한 체계는 "계약 적"또는 "음성 보존"이라고도합니다. Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu 및 저 자신의 주제에 관한 최근 책이 있습니다.
방정식 시스템에 대해 지역 특성 분해 를 사용하지 않으면 솔루션이 TVD가 아닙니다 (TVD 체계는 스칼라 문제에 대한 해당 속성 만 보유 함). 따라서 특성 변수를 재구성 / 보간하는 것이 가장 좋습니다.
비선형 시스템을 사용하는 경우 로컬 특성 분해를 사용하더라도 음수 값이 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 얕은 물 방정식 또는 오일러 방정식에 대한 선형화 된 Riemann 솔버 (예 : Roe 솔버)는 충분히 까다로운 조건에서 음수 값을 생성하는 것으로 표시 될 수 있습니다. 해결책은 HLL 솔버 (또는 HLL의 변형 )를 사용하는 것입니다 . 그중 일부는 아마도 긍정적입니다.
TVD 체계는 단지 두 번째 순서입니다. WENO와 같은 고차 비 진동 방식은 TVD 또는 최대 원칙을 엄격하게 충족하지 않습니다. 그러나 이러한 고차 체계의 새로운 수정은 그렇지 않습니다. 그것은 Xiangxiong Zhang (Chi-Wang Shu의 학생)에 의해 최근의 몇 가지 논문에서 개발되었습니다.

물론 데이비드 조지의 GeoClaw 코드와 같이 특정 물리 방정식에 대해 다른 많은 특수화 된 접근법이 있습니다.

— 데이비드 케 치슨
소스

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소스 용어없이 쌍곡선 방정식을 풀고 물리적 초기 조건을 제공한다고 가정 할 때 사용하는 수치 체계가 전체 변형 감소 가 계산 된 솔루션의 "물리"를 보장하는 좋은 방법인지 확인하십시오. TVD 구성표는 단 조성을 유지하기 때문에 새로운 최소값 또는 최대 값이 생성되지 않으며 솔루션은 우리가 올바르게 설정 한 초기 값으로 제한됩니다. 물론 문제는 TVD 체계가 가장 명백한 것이 아니라는 것입니다. 선형 체계 중에서 1 차 체계 만 TVD (Godunov 1954)입니다. 따라서 50 년대 이후 쌍곡선 방정식의 해를 위해 고 정확도와 단 조성을 결합하기 위해 다양한 비선형 TVD 방식이 개발되었습니다.

내 응용 프로그램의 경우 큰 압력 / 밀도 그라디언트가있는 Navier-Stokes 방정식을 풀기 위해 하이브리드 MUSCL 중심 구성표를 사용하여 큰 그라디언트 / 불연속을 캡처하고 그로부터 좋은 정확도를 유지합니다. 첫 번째 MUSCL 체계 (MUSCL은 보존법에 대한 모노톤 업스트림 중심 계획을 나타냄)는 1979 년 Van Leer에 의해 고안되었습니다.

이 주제에 대해 더 알고 싶다면 Harten, Van Leer, Lax, Sod 및 Toro의 작품을 참조하십시오.

— 프랑스어
소스

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위의 답변은 시간에 따른 문제에 적용되지만 간단한 타원 방정식으로 양성을 요구할 수도 있습니다. 이 경우 변수의 경계를 제공 하여 변형 부등식 으로 공식화 할 수 있습니다.

PETSc에는 두 개의 VI 솔버가 있습니다. 활성 공간 제약 조건의 변수가 해결 될 시스템에서 제거되는 공간 축소 방법을 사용합니다. 다른 하나는 반 부드러운 뉴턴 방법을 사용 합니다.

— 맷 니 플리
소스

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$A$

A u = b

$Au = b$

A

$A$

A^{- 1}

$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$ $B\geq0$ $B$

(B \geq 0) \Leftrightarrow (u \leq v \Rightarrow B u \leq B v, \forall u, v \in R^{n})

$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$

$A$

0 \leq b \Rightarrow 0 = A^{- 1} 0 \leq A^{- 1} b = u

$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$

b

$b$

b \geq 0

$b\geq 0$

일반적으로 M- 행렬로 이어지는 이산화 기법을 모노톤 기법이라고하며 이것이 부정적이지 않은 기법입니다.

— MH
소스

M

$M$