다양한 차원의 PDE

필자는 PDE에 대한 근사 솔루션을 찾는 대부분의 방법이 차원 수에 따라 확장 성이 낮으며 Monte Carlo가 ~ 100 차원을 요구하는 상황에 사용된다는 것을 알고 있습니다.

~ 4-10 차원에서 PDE를 효율적으로 수치 적으로 해결하는 좋은 방법은 무엇입니까? 10 ~ 100?

몬테카를로 외에 차원의 수에 맞게 확장 할 수있는 방법이 있습니까?

다차원에서 기본 또는 직교 (많은 경우에 MC를 대체 할 수 있음)를 제공하는보다 체계적인 방법은 희소 격자의 것입니다 . 이것은 희소 격자 의 것입니다. 차원 이 해상도 N 의 지수가되기보다는 차원 $2^d$ .$N^d$

이것은 일련의 1 차원 규칙 Q 1 l 을 결합한 Smolyak 구적법을 통해 수행됩니다.$Q^1_l$ 됩니다.

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

이것은 공간에서 높은 혼합 차수가 제거 된 텐서 곱 구적 공간과 동일 합니다. 이것이 충분히 심각한 방식으로 수행되면 복잡성이 크게 향상 될 수 있습니다. 그러나,이를 수행하고 근사를 양호하게 유지하기 위해서는 용액의 규칙 성이 혼합 유도체를 충분히 소멸시켜야한다.

스파 스 그리드가 같은 것들에 대한 GRIEBEL 그룹에 의해 죽음에 구타 한 구성 공간에서 슈뢰딩거 방정식 과 다른 고차원적인 것들에 . 응용 프로그램에서 사용되는 기본 기능은 중첩 할 수있는 한 일반적 일 수 있습니다. 예를 들어, 평면파 또는 계층 기반이 일반적입니다.

자신을 코딩하는 것도 매우 간단합니다. 그러나 내 경험상 실제로 이러한 문제를 해결하는 것은 매우 어렵습니다. 좋은 튜토리얼 이 있습니다.

빠르게 죽는 파생 상품을 특징으로하는 특화된 Sobolev 공간에 솔루션이 존재하는 문제의 경우 희소 그리드 접근 방식으로 인해 더 큰 결과를 얻을 수 있습니다.

Acta Numerica 검토 논문, 고차원 파라 메트릭 및 확률 론적 PDE의 스파 스 텐서 이산화를 참조하십시오 .

일반적으로 일반 그리드가 3 차원 또는 4 차원 문제를 넘어 설 수없는 이유를 쉽게 이해할 수 있습니다. d 차원에서 좌표 방향 당 최소 N 포인트를 원하면 N ^ d를 얻습니다. 전반적으로 포인트. 1d에서 비교적 좋은 기능을 수행하더라도이를 해결하려면 적어도 N = 10 그리드 포인트가 필요하므로 전체 포인트 수는 10 ^ d가됩니다. 예를 들어 d를 넘어 서기 어려운 최대 컴퓨터에서도 = 9, 아마도 그 이상을 넘어 가지 않을 것 입니다 . 솔루션 함수에 특정 속성이있는 경우 일부 상황에서 스파 스 그리드가 도움이 될 수 있지만 일반적으로 차원 저주의 결과에 따라 생활하고 MCMC 방법을 사용해야합니다.

$d=4,...,100$$d=100,101,...\infty$ . 따라서 치수가 4에서 100으로 증가하더라도 몬테 카를로는 어쨌든 더 빠를 것입니다.