드리프트-확산 및 관련 모델을위한 PDE 솔버

드리프트-확산 모델에서 시작하여 교육 학적 목적으로 기본 반도체 모델을 시뮬레이션하려고합니다. 상용 반도체 시뮬레이터를 사용하고 싶지는 않지만 다른 (일반적이거나 최근이거나 모호한) 모델을 배우고 있지만 상용 PDE 솔버를 사용하고 싶습니다.

그러나 간단한 1D 사례의 경우에도 드리프트-확산 모델은 여러 개의 결합 된 비선형 PDE로 구성됩니다.

전류 밀도 방정식

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

연속성 방정식

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

포아송 방정식

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

및 다수의 경계 조건.

나는 파이썬 FEM 솔버, FEniCS / Dolfin 및 SfePy 를 시도했지만 테스트 기능을 사용하여 약한 변형 형태로 그것들을 공식화 할 수 없기 때문에 운이 없습니다.

물론 수치 솔루션을 처음부터 구현하는 옵션이 있지만 아직 FEM / Numerical을 깊이 연구하지 않았으므로 수치 문제로 압도되고 싶지 않은 유일한 옵션이 아니길 바랍니다.

그렇다면 이러한 방정식을 가져 와서 해결할 수있는 패키지 (오픈 오픈 소스)가 있습니까? 아니면 도구에 필요한 변형 형식이 어렵지 않습니까? 어쨌든 내 옵션은 무엇입니까?

감사

편집 : FEniCS / Dolfin 또는 SfePy의 약한 변형 형식을 작성하려고합니다.

3 개의 PDE (Poisson + J가 치환 된 2 개의 연속 방정식)를 사용하여 V, n 및 p를 찾습니다. 푸 아송 방정식 (테스트 함수 )은 간단합니다. 그러나 연속성 방정식으로 어려움을 겪고 있습니다. $u_V$

두 번째 PDE (strong form) 여기서 는 상수, 는 스칼라 함수입니다

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

하자 두 번째 PDE에 대한 나타낸다 테스트 함수를. 그때 $f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

특히 걱정스러운 요소는

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

그러나 는 벡터이고 은 스칼라입니다. 그런 다음 ID $\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

V는 푸 아송 방정식에 의해 해결되므로 소프트웨어 Dolfin / FEniCS에서 허용 된대로 최근 계산 된 값을 사용하고이 두 번째 결합 방정식에서 V를 처리하는 방법을 단순화 할 수 있습니까? 이런 종류의 기술은 분별하는 동안 작동합니다 (예 : Gummel, ...).이 준비된 솔버에서는하지 않습니다!

또한 경계 조건은 not 과 관련하여 제공됩니다 . 어떻게 구현합니까? 이 V와 n에 의해 결정 되더라도 5 개의 변수 합니까? $J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— 위암
소스

왜 약한 형태를 적을 수 없습니까?

— Bill Barth

@ BillBarth 질문을 편집했습니다.보세요. 감사.

— Weaam

부품 별 통합이 잘못되었습니다. 수식을 확인하고 누락 된 부호가 있으며 왼쪽보다 오른쪽에 더 많은 파생물이 있으며 경계 적분을 잊었습니다.

— Wolfgang Bangerth

또한 내적을 사용하여 곱하는 것을 나타내는 이유가 있습니까? 스칼라 죠?

u_{n}

$u_n$

— Bill Barth

예, 좀 더 조심해야 했어요 V를 이전 PDE에서 이미 해결 했으므로 V를 처리하는 방법에 대한 내 편집 내용을 확인하십시오. 이것이 변형 형식에 영향을 줍니까? 감사합니다.

— Weaam

Scharfetter-Gummel (SG) 공식은 일반적으로 전류 밀도 방정식을 풀기 위해 사용됩니다. 이것은 전위 밀도와 전류 밀도 사이의 비선형 의존성을 해결하는 데 어려움을 극복하는 특수한 공식입니다.

박스 통합 방법을 사용하여 이러한 방정식이 어떻게 사용되는지를 설명하는 표준 텍스트 : Selberherr, S., 반도체 장치의 분석 및 시뮬레이션. Springer-Verlag 1984

이러한 유형의 시뮬레이션은 TCAD (Technology Computer Aided Design)라고합니다. 유한 요소법 (FEM)과 달리 유한 체적 법 (FVM)은 전류를 계산하는 데 사용됩니다. 이것은 전류 밀도 방정식을 풀 때 (이 방법의 전문가에 의해) 보여진 SG 공식에 적합하기 때문입니다.

일반화 된 PDE를 사용하여이 문제를 해결하려면 COMSOL에 하이브리드 FEM / FVM 방법을 사용하여이 문제를 해결하는 반도체 모듈이 있습니다.

또한 상용 및 오픈 소스 TCAD 시뮬레이터는 다음과 같습니다. http://www.tcadcentral.com

내 지식으로는 일반화 된 PDE TCAD 솔버는 DEVSIM, FLOOPS, PROPHET입니다. 상용 도구는 대부분의 물리 방정식을 C ++과 같은 컴파일 된 언어로 하드 코딩하는 경향이 있습니다.

— 후안
소스

답변이 늦어 져 죄송합니다. DD (SG와 함께)의 직접 적용이 상당히 불안정하다는 것을 깨달았습니다 (적어도 Fenics에서의 구현). 이후의 VLSI 과정에서는 실제로 Comsol 및 TCAD 도구를 사용했습니다. 귀하의 포괄적 인 답변에 감사드립니다.

— Weaam