선형 구속 조건으로 볼록 함수 최대화 (오목 함수 최소화)

문제는

여기서 $f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)^2}}$ ,
$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ 및
$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

우리는 $f(.)$ 가 $\sqrt{1+y^2}$ 이고 볼록 함수라는 것을 알 수 있습니다.
f (.)가 [\ sqrt {2}, 2]에 묶여 있음을 알 수 있습니다 $[\sqrt{2}, 2]$.

이것은 선형 구속 조건의 볼록한 최소화 문제입니다.

이러한 종류의 문제를 해결하는 데 사용되는 표준 알고리즘은 무엇입니까?

문제의 특정 특성을 사용하여 표준 최적화 소프트웨어 / 패키지를 사용하여 문제를 해결할 수 있습니까?

나는 당신을 위해 그렇게 할 사전 패키지 된 솔버가 없다는 것을 알고 있지만 문제의 구조를 활용할 수 있습니다.

본질적으로, 당신이 찾고있는 것은 볼록 폴리 토프 (또는 볼록 다면체)에 대한 오목한 기능을 최소화하는 것입니다. 빠른 검색은 몇 가지 관련 소스를 가져 왔습니다 (4 년 전에 비선형 프로그래밍에 대한 수업을 들었을 때 언급 된 것 중 하나는 막연합니다).

Falk, JE, Hoffman, KL 축소 폴리 토프를 통한 KL 오목 최소화 , Operations Research, 1986, Vol. 34 권 6 호 919-929.

호프만, KL 볼록 세트에 대한 볼록 함수를 전체적으로 최소화하는 방법 , Mathematical Programming, 1981, Vol. 20, p. 22-31.

Benson, HP 다면체에 대한 오목한 최소화를위한 유한 알고리즘 , Naval Research Logistics, 1985, Vol. 32 권 1 호 165-177.

Christophe Meyer 웹 사이트 에 대한 참조 자료 .

Google이 "polytope보다 오목한 기능을 최소화"하거나 "polytope"을 "polyhedron"으로 대체하면 더 많은 소스가 있습니다.

몇 년 전에 최적화에 관한 강의에 참석했습니다. 당시 우리는 Matlab을 YALMIP과 함께 사용했습니다.

YALMIP 위키

이 문제는 볼록 함수 (DC) 프로그래밍 문제의 차이로 볼 수 있습니다. DC 프로그래밍에 대한 광범위한 문헌이 있으며 관련 연구를 검색 할 수 있습니다. 가장 잘 알려진 방법 중 하나는 DCA 방법입니다 (예 : http://lma.univ-pau.fr/meet/mamern09/en/Lethi-MAMERN09.pdf 참조).

DC 문헌을 어느 정도 조사하여 편리하게 사용할 수있는 또 다른 최근 논문은 다음과 같습니다. https://arxiv.org/pdf/1511.01796.pdf

평활하지 않은 문제에 대해 좀 더 일반적인 방법을 사용할 수도 있습니다 (예 : http://num.math.uni-goettingen.de/~ssabach/BST2013.pdf).

나는 제공 할 것 프랭크 울프 알고리즘 당신의 고려 및 관련 방법. 기본적으로 목적 함수를 선형화하고 각 반복에서 결과 LP를 해결합니다. 그러나이 접근법을 효과적으로 사용하려면 에 경계를 추가해야한다고 생각 합니다.$x$