답변:
멀티 그리드의 기본 아이디어는 프로젝션입니다. 나는 다음과 같이 생각하려고합니다.
PDE를 많은 정확도로 풀고 싶다고 가정하고, 많은 점이있는 매우 미세한 격자에서 도메인을 구별하십시오 (예 : 유한 차분 법 사용). 결국, 나는 방정식 시스템을 설정했고 그것을 풀 준비가되었습니다. 좋아하는 반복 솔버 (jacobi, gauss seidel, 켤레 그라디언트 등)를 사용해보십시오. 하루 이상 기다렸다가 컴퓨터가 여전히 답을 계산하려고한다는 것을 알았습니다 !!!
이러한 반복 방법이 빠르게 작동하지 않는 이유는 (일반적으로) 이와 같은 큰 방정식 시스템을 설정할 때 행렬 자체의 고유 값이 1에 매우 가깝기 때문입니다. 왜 이런 문제가 발생합니까? 많은 반복 방법의 수렴 속도는 가장 큰 고유 값과 반비례하기 때문에 (Christian Clason의 Brigg 's Multigrid Tutorial Slides, 27 페이지 1 부 링크 참조) 따라서 가장 큰 고유 값이 1에 가까울수록 반복 방법이 느려집니다. (참고 : 이것은 약간 단순화되었지만 멀티 그리드의 필요성을 자극하는 데 도움이됩니다).
알 수없는 것이 적 으면 (즉, 그리드 포인트가 적은 거친 그리드) 문제를 해결하는 것이 항상 더 빠릅니다. 그러나 더 중요한 것은 더 거친 그리드의 솔루션 (또는 대략적인 솔루션)이 더 미세한 그리드에서 문제를 해결하기위한 좋은 출발점입니다. 이것이 대부분의 멀티 그리드 메소드의 핵심 아이디어입니다. 왜 이런 경우입니까? 직관적으로 말이 되겠지만, 이것을 정당화하는 수학적으로 엄격한 방법이 있습니다.
원래의 미세 그리드 문제에 적용되는 반복적 방법 (자세한 경우, jacobi 또는 gauss seidel이라고 함)에서 오류의 푸리에 모드를 살펴 보겠습니다. 처음 몇 번의 반복에서 고주파 (고진동) 오류의 대부분이 제거되는 것을 볼 수 있습니다! 이것은 훌륭하지만, 여전히 남아 있고 빠르게 사라지지 않는 저주파 (진동이 적은) 오류가 있습니다. 실제로, 표준 반복 방법이 빠르게 수렴하지 못하게하는 것은 저주파 오류입니다.
굵은 격자에서 문제를 해결하면 (예를 들어, jacobi 또는 gauss-seidel과 같은 반복 방법 으로) 미세 격자보다 훨씬 낮은 주파수 오류를 훨씬 더 빠르게 (즉, 더 적은 반복으로) 제거 할 수 있습니다 . 따라서 거친 그리드의 문제를 해결하면 더 낮은 주파수 오류가 크게 줄어든 솔루션이 있습니다. 따라서 더 미세한 그리드에서 반복적 인 방법의 시작점으로 유용합니다.
다른 멀티 그리드 방법이 있지만 대부분은 다음과 같은 변형으로 작동합니다.
나에게 멀티 그리드 방법의 가장 어려운 부분은 그리드 간의 투영입니다. @ChristianClason이 제안한 Briggs 튜토리얼은이 주제를 내가 할 수있는 것보다 훨씬 잘 처리합니다.
이 사이트는 의사 코드에 대한 자세한 설명을 요청하기에 적합하지 않습니다 ( FAQ , "질문에 대한 답변이있는 책 전체를 상상할 수 있다면 너무 많이 요구하고 있습니다"). 이 주제에 대한 고전 서적 중 하나 (아래에 나열)에서 시작하여 문제가있는 구체적인 세부 사항에 대한 특정 질문으로 돌아갑니다.
Briggs, Multigrid Tutorial , SIAM, 2000 ( 여기 및 여기에서 슬라이드를 다운로드 할 수 있습니다. ) 이것은 일반적으로 타원 문제에 대한 멀티 그리드 원리에 대한 부드러운 소개를 제공하는 일반적인 소스입니다.
Brandt, Multigrid Techniques , 개정판, SIAM 2011 (또는 pdf 다운로드 ). 이것은 멀티 그리드 철학과 멀티 스케일 모델링의 훌륭한 발전이며 내재적 솔버에 대한 당신의 생각을 크게 바꿀 수있는 좋은 기회입니다. Achi Brandt의 웹 사이트 에는 2000 년의 Multiscale Scientific Computation 검토를 포함하여 더 많은 참조 자료가 있습니다 .
Trottenberg, Oosterlee 및 SCHUELLER, 다중 격자 , 대학 출판부, 2001 이 더 특히 유체 역학의 맥락에서, 특정 방법에 대한 많은 실험과 세부 사항을 포함하여, 브란트보다 예를 일했다.
Hackbusch, Multigrid Methods and Applications , Springer, 1985 이것은 Fredholm 통합 연산자를위한 "두 번째 종류의 멀티 그리드"를 포함하여 엄격한 수렴 이론을 제공합니다.