Crank-Nicolson은 반응 확산 확산 대류 (대류) 방정식에 대한 안정적인 이산화 체계입니까?

PDE에 대한 일반적인 이산화 체계에 익숙하지 않습니다. 크랭크-니콜슨 (Crank-Nicolson)이 확산 방정식을 이산화시키는 데 널리 사용되는 방식이라는 것을 알고 있습니다. 이류 용어로도 좋은 선택입니까?

반응 확산 확산 현상 방정식 을 푸는 데 흥미가 있습니다 .

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

여기서 는 물질 u 의 확산 계수 이고 \ boldsymbol {v} 는 속도입니다.U $D$$u$$\boldsymbol{v}$

내 특정 응용 프로그램의 경우 방정식을 양식으로 작성할 수 있습니다.

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

내가 적용한 크랭크-니콜슨 계획은 다음과 같습니다.

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

통지 $\alpha$ 와 $\beta$ 조건을. 이를 통해 체계가 다음 사이를 이동할 수 있습니다.

• $\beta=\alpha=1/2$ 크랭크-니콜슨,
• $\beta=\alpha=1$ 완전히 암시 적입니다.
• $\beta=\alpha=0$ 완전히 명시 적입니다.

값은 다를 수 있으며, 이는 확산 항이 크랭크-니콜슨이 될 수 있고 대류 항이 다른 것이 될 수 있습니다. 가장 안정적인 접근 방식은 무엇입니까?

이것은 잘 짜여진 질문이며 이해하기에 매우 유용한 것입니다. Korrok은 폰 노이만 분석 및 LeVeque의 책을 참조하여 정확합니다. 그것에 조금 더 추가 할 수 있습니다. 자세한 답변을 작성하고 싶지만 현재는 짧은 답변 시간 만 있습니다.

함께 , 당신은 반드시 임의의 큰 스텝 크기에 안정한 방법뿐만 아니라 정확한 2 차를 얻는다. 그러나이 방법은 L- 안정적 이지 않으므로 매우 높은 주파수는 감쇠되지 않으므로 비 물리적입니다.$\alpha=\beta=1/2$

함께 , 당신은 또한 무조건 안정 만 1 차 정확한 방법을 얻을. 이 방법은 매우 소 산적입니다. 그것은이다 L -stable.$\alpha=\beta=1$

을 취하면이 방법은 렁-쿠타 추가 방법 을 중심 차 반 분산에 적용하는 것으로 이해 될 수 있습니다 . 이러한 방법에 대한 안정성 및 정확도 분석은 훨씬 더 복잡합니다. 그러한 방법에 대한 아주 좋은 논문이 여기 있습니다 .$\alpha\ne\beta$

어떤 방법을 추천 할 것인지는 의 크기 , 처리하는 초기 데이터의 종류 및 원하는 정확도 에 크게 좌우 됩니다. 정확도가 매우 낮은 경우 은 매우 강력한 방법입니다. 경우 중간 또는 큰, 다음 문제는 확산 지배하고 매우 딱딱하다; 일반적으로 는 좋은 결과를 제공합니다. 경우 매우 작고, 대류 용어 명시 방법 및 고차 upwinding을 사용하는 것이 유리할 수있다.α = β = 1 D α = β = 1 / 2 $D$$\alpha=\beta=1$$D$$\alpha=\beta=1/2$$D$

일반적으로 포물선 방정식 (확산 부분)에 대한 암시 적 방법을 사용하려고합니다. 포물선 PDE의 명시 적 체계는 매우 짧은 시간 간격이 있어야 안정적입니다. 반대로, 쌍곡선 부분 (이류)의 경우 명시 적 방법이 더 저렴하고 암시 적 확산 체계를 사용하여 해결해야하는 선형 시스템의 대칭성을 방해하지 않기 때문에 명시적인 방법을 원할 것입니다. 이 경우 와 같은 중심 차이를 피하고 단측 차이로 전환 안정성의 이유로 .( u j − u j − 1 ) / Δ $(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$$(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

나는 당신이 보는 게 좋을 것 랜디 LEVEQUE의 책 또는 데일 Durran의 책 "폰 노이만 안정성 분석"에 대한. 주기적 경계 조건이있는 경우 이산화 계획의 안정성을 확인하는 일반적인 방법입니다. (좋은 위키 기사도 있습니다 .)

기본 아이디어는 이산 근사값이 평면 파도 의 합계로 작성 될 수 있다고 가정하는 것입니다. 여기서 는 파도 수이고 는 주파수입니다. 당신은 PDE에 대한 당신의 근사치에 비행기 파도를 치고 그것이 터지지 않기를기도합니다. 평면파를 로 다시 쓸 수 있으며 인지 확인하고 싶습니다 . k ω ξ n e i k j Δ x | ξ | ≤ $e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$$k$$\omega$$\xi^n e^{ikj\Delta x}$$|\xi|\le 1$

예를 들어, 완전히 암시적인 차분을 갖는 일반적인 확산 방정식을 고려하십시오.

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

우리가 평면파를 대체하고 과 우리는 방정식을 얻습니다.e i k j Δ $\xi^n$$e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

지금 이것을 조금 정리하면 다음과 같이됩니다.

$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$ .

이것은 항상 하나보다 작으므로 분명합니다. 이것을 대류 방정식에 대한 명시적이고 중심적인 계획에 적용하십시오.

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

무엇을보고 당신이 얻을. (이번에는 가상의 부분이있을 것입니다.) 슬픈 시간 인 찾을 수 있습니다. 따라서 당신이 그것을 사용하지 말라고 내 훈계. 그렇게 할 수 있다면 전체 대류-확산 방정식에 대한 안정적인 체계를 찾는 데 큰 어려움이 없을 것입니다.$\xi$$|\xi|^2 > 1$

즉, 확산 부분에 대해 완전히 암시 적 방식을 사용합니다. 상기 이류 부분에서 차이점을 변경 의 경우 및 경우 및 시간 단계를 선택되도록 . (이것은 Courant-Friedrichs-Lewy 조건 입니다.) 1 차 정확하기 때문에, 관심이 있다면 고차 이산화 계획을 찾아 볼 수 있습니다.$u_j-u_{j-1}$$v > 0$$u_j-u_{j+1}$$v < 0$$V\Delta t/\Delta x \le 1$