Matlab에서이 3 중 정수를 신뢰할 수 있습니까?

전산 과학 사람들 :

나는 원래이 질문을 Math Stack Exchange에 게시 했으며 누군가 "여기에 훨씬 더 나은"답변을 얻을 수 있다고 언급했다.

저는 수치 법과 Matlab의 초보자입니다. 나는 두 개의 트리플 적분의 다음 합계를 평가하려고합니다 (명백하게 더 간단하게 작성할 수는 있지만 여전히 상징적으로 평가할 수는 없습니까 (?)). 를 여기에서 작동 시키는 데 문제가 있습니다. 그래서 마지 못해 조각으로 나 here습니다.$\LaTeX$

$$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$$

과

$$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$$

어디

$$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$$

과

$$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$$

편집 (2013 년 3 월 2 일) : 누군가가 Mathematica가 적분을 상징적으로 수행하도록했습니다. 방금 (적분의 단순화 된 버전으로)이 작업을 시도했지만 Mathematica는 첫 번째 것 중 두 개만 할 수 있었고 두 번째 것에서는 멈추었습니다. 도움을 부탁드립니다. 여기 내가 한 일이 있습니다.

평가하려고했습니다

$$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$$ 통하다

적분 [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp (-t ^ 2), {t, 0, r2-r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

Mathematica가 반환합니다 ( 결과가 길기 때문에 와 관련하여 문제가 발생했습니다. 두 방정식으로 나 anyone습니다. 누군가가 이것을 표시하는 좋은 방법을 알고 있다면 알려주십시오).$\LaTeX$

$$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$$

$$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$$

그런 다음 평가하려고했습니다

$$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$$

$$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$$

사용

적분 [(r1 + r2-t) ^ 4 * (t ^ 2 + 2 * t * (r1 + r2)-3 * (r2-r1) ^ 2) ^ 2 * Exp [-t ^ 2] / r1 ^ 3 / r2 ^ 3, {r2, 1, 2}, {r1, 1, r2}, {t, r2-r1, r2 + r1}]

지금 막 Mathematica는 약 30 분 후에도 답을 얻지 못했습니다 (그러나 지금은 컴퓨터 네트워크에 문제가있어서 책임이 있습니다).

[3 월 2 일 편집의 끝]

추가 옵션없이 Matlab의 "triplequad"명령을 사용했습니다. 다른 방법을 몰랐기 때문에 헤비 사이드 함수를 사용하여 가변 적분 한계를 처리했습니다. Matlab은 나에게 주었다 . $0.007164820144202$

Matlab이 좋은 소프트웨어라는 것을 알고 있지만, 수치 적 삼중 적분이 정확하게하기 어렵다고 들었고 수학자들은 회의적이어야하므로이 답의 정확성을 검증 할 방법을 원합니다. 적분은 특정 실험의 예상 값을 제공합니다 (원하는 경우 실험을 설명하기 위해이 질문을 편집 할 수 있음). 적절하게 임의로 생성 된 수, 백만 번을 사용하여 Matlab에서 실험을 구현하고 결과를 평균화했습니다. 나는이 과정을 네 번 반복했다. 결과는 다음과 같습니다 ( '평가판'이라는 단어를 잘못 사용하면 사과합니다).

시험판 1 :$0.007133292603256$

시험판 2 :$0.007120455071989$

시험 3 :$0.007062595022049$

시험판 4 :$0.007154940168452$

시험판 5 :$0.007215000289130$

각 시도에서 백만 개의 샘플을 사용했지만 시뮬레이션 값은 첫 번째 유효 숫자에서만 일치합니다. 그들은 숫자 삼중 적분이 정확한지 여부를 결정할 수있을 정도로 서로 가깝지 않습니다.

그렇다면 여기에서 "삼중 항"의 결과를 신뢰할 수 있는지, 어떤 상황에서 일반적인 것으로 믿을 수 있습니까?

Math Stack Exchange에서 얻은 한 가지 제안은 Mathematica, Octave, Maple 및 SciPy와 같은 다른 소프트웨어를 사용해 보는 것입니다. 이것이 좋은 조언입니까? 사람들은 실제로 Mathematica와 Maple에서 수치 작업을합니까? 옥타브는 일종의 Matlab 클론이므로 동일한 통합 알고리즘을 사용한다고 가정 할 수 있습니까? 나는 SciPy에 대해 들어 본 적이 없으며 그것에 대해 의견을 보내 주셔서 감사합니다.

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업데이트 : Math Stack Exchange의 누군가 가 Maple에서 그것을하고 얻었 . 그것은 세 가지 중요한 수치에 대한 동의입니다. 좋은 징조입니다.$0.007163085468$

또한 스택 교환의 에 긴 여러 줄 표현을 입력하는 방법에 대한 제안에 감사드립니다 . 여기서 "정렬 된"환경을 사용할 수 있습니까? 시도했지만 작동하지 못했습니다.$\LaTeX$

$10^{-8}$

메이플에서 오는 대답은 아마도 컴퓨터 대수에 의해 이루어 졌을 것이고 아마도 닫힌 솔루션을 찾은 다음 배정 밀도 부동 소수점을 사용하여 평가되었을 것입니다. 이것은 유한 합산으로 적분을 근사화하지 않고 근사 오차를 발생시키는 이점이 있지만 컴퓨터 대수 시스템은 적분에 대한 표현을 찾은 다음 평가할 수 있습니다. 물론,이 표현을 평가할 때는주의를 기울여야합니다 (반올림).

SciPy를 사용하여이 작업을 수행하려면 기본 Quadpack (Piessens et al.) 루틴을 사용하여 중첩 적응 가우스 구적법을 사용해야합니다. 옥타브에서는 동일한 접근 방식이 있습니다. Matlab이 Quadpack을 쿼드 러처 엔진으로 사용하더라도 놀라지 않을 것입니다 ( 참조 이므로 ).