큰 밀도 낮은 순위 할당 문제

대형, 밀도, 낮은 순위 할당 문제를 해결하기 위해 합리적으로 싼 방법이있다 , permutations.of 모든 것을 실행 ? $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ $\pi$ $1:n$

여기서 $A$ 는 하위 순위 의 $n\times n$ 행렬입니다 . 일반적인 크기는 (아마도 더 클 것), 입니다. $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

에 의해

π i

$\pi i$ 당신이 제품을 의미합니까 있도록 다른에 대한 매트릭스를 통해 당신이있는 거 스트 라이딩

π

$\pi$ ?

— Bill Barth

π

$\pi$ 는 모든 순열에 대해 실행됩니다.

— Arnold Neumaier

그렇다면

가 아니어야합니까

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$ ?

— 잭 폴슨

@JackPoulson :

\i (i)

$\i(i)$ 및

π i

$\pi i$ 는 순열

에서

이미지에 대한 두 가지 다른 표기법입니다 .

i

$i$

π

$\pi$

— Arnold Neumaier

재미있는 질문! 스토리지 이유로, 즉 전통적인 할당 알고리즘을 적용 할 때 전체 매트릭스를 형성하지 않아도 되는 낮은 순위 구조를 활용 하려고하십니까? 아니면 검색 속도를 높이기 위해 낮은 순위를 이용할 수있는 방법을 찾고 있습니까?

— Michael Grant

사람 와 , 우리가 여기서 는 해당하는 순열 행렬 입니다. $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

모든 에 대해 추적은 (이 수량은 Frobenius product , ). $\pi$

trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{π} R_{1})_{i, k} (R_{2}^{T})_{k, i} = \sum_{i, k} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{i, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

이 아이디어는 모든 Frobenius 제품의 최대 값에 대한 모든 순열 및 무차별 검색을 수행해야하는 부담을 를 명시 적으로 계산 것과 동일한 산술 복잡성 . 그러나 실제로 형성 할 필요가 없으므로 메모리 요구 사항이 훨씬 적습니다 . $A=R_1R_2^T$ $A$

— 니코 슐 뢰머
소스