밀도 기능 이론은 시스템 크기에 따라 어떻게 확장됩니까?

이론적으로, 밀도 함수 이론 (DFT) 계산 시간은 전자 수에 어떻게 비례합니까? O (N) 코드가 아닌 VASP, ABINIT 등과 같은 "일반적인"DFT 구현에 관심이 있습니다.

가장 간단한 정답은 DFT가 입니다. 이것은 당신이 궁극적으로 선거 수에 비례하는 차원으로 해밀턴 인을 대각선 화하고 있으며, 대각선 화는 기술적으로 이라는 생각에서 비롯됩니다 .O ( N 3$O(N_e^3)$$O(n^3)$

실제로 DFT는 여러 단계이며 서로 다른 상황에서 다른 단계는 속도 제한적입니다. 우리가 평면파 (PW) DFT (VASP, ABINIT, QE 등)로 자신을 제한하면 더 강력한 진술을 할 수 있습니다. PW DFT 코드에 대해 이해해야 할 중요한 아이디어는 Hamiltonian이 절대 큰 행렬로 저장되지 않는다는 것입니다. 대신, 해밀턴 연산자의 동작은 일반적으로 '사내'반복 사선 화기 (공액 기울기, 데이비슨 등)에서 계산되고 사용됩니다. 이 대각선 는 공식적으로 이며, 여기서 는 Hamiltonian의 동작을 계산하는 비용이지만 더 큰 자체 일관성 알고리즘에서 역할을 고려하면 훨씬 빠르게 수행되는 경향이 있습니다.M $O(n_e MV)$$MV$

Hamiltonian의 동작을 계산하는 과정은 다음 두 단계로 이루어집니다.

• 실제 공간의 지역 전위에는 FFT,$O(n_v \ln n_v)$
• 투영은 실수 또는 g 공간, 또는 에서 각각 발생할 수 있습니다O ( n a n p n v$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• 로컬이 아닌 전위는 각각 대각선 또는 블록 대각선, 또는 입니다.O ( n a n 2 p$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

이 모든 것은 전자 당 한 번 (실제로는 파동 함수) 발생해야하므로 모든 계수를 추가하십시오 .$n_e$

어떤 수단 (예 : Gram-Schmidt)을 통해 파동 함수 (해밀턴의 고유 함수)는 서로 직교하게 유지해야합니다$O(n_e^2 n_v)$

마지막으로, 파동 함수는 전자 밀도로 구성되어야합니다. PW 코드에서, 이것은 파동 함수 (및 합) 당 하나의 마지막 FFT, 됩니다.$O(n_e n_v \ln n_v)$

나는 몇 가지에 넣어 한 것을 참고 '의 볼륨 (정말, 그것은 기초 크기가) 관련이 원자 당 프로젝터의 수는, 원자의 수이며, 수를 전자의. 공식적 , 및 모두 직선 서로 (관련된 작은 정수)하지만 (슬래브 / 와이어 형상의 진공 추가) 전자들의 고정 된 수와 체적을 증가 시키거나하여 프로젝터의 수를 증가 상상할 수 고정 된 수의 원자와 전자 (보다 정확한 의사 전위 사용).$n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$

문제가 FFT로 제한되는 것이 일반적이며,이 경우 문제는 실제로 이며 기술적으로 정확하지 않은 경우 문헌에서 다소 일반적인 대답입니다.$O(n^2 \ln n)$