2 차 16 진 유한 요소에 8 가우스 포인트가 필요합니까?

비 물리적 모드를 도입하지 않고 8 가우스 포인트 미만의 육면체 유한 요소에 대해 2 차 정확도를 얻을 수 있습니까? 단일 중앙 가우스 포인트는 비 물리적 전단 모드를 도입하고 8 가우스 포인트의 표준 대칭 배열은 사면체 이산화에 비해 비쌉니다.

편집 : 누군가가 방정식을 요구했습니다. 내가 관심있는 방정식은 동적 또는 준 정적 비선형 탄성입니다. 준 정적 방정식은

여기서 , Ω ⊂ R 3 및 P : R 3 × 3 → R 3 × 3 은 초 탄성 첫 번째 Piola-Kirchoff 응력 함수입니다. 간단한 예는 압축 형 신형 Hookean입니다. 여기서 P ( F ) = μ ( F - F - T ) + λ F - T log det $\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$$\Omega \subset \mathbf{R}^3$$P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

유한 요소 솔리드 역학 시뮬레이션에 관한 한, 안정화 힘을 사용하지 않고 8 개 이하의 직교 점을 사용할 수 없습니다. 비압축성 재료 (귀하의 경우)의 경우, 정확한 목적을위한 최상의 솔루션은 혼합 제제를 사용하는 것입니다. Simo와 Hughes의 책을 참조 할 수 있습니다 ( http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC) .

일반적으로 자유도가있는 것보다 셀당 더 적은 직교 점으로 도망 갈 수 없다는 것이 비교적 분명합니다. 3 차원 육면체의 삼선 형 요소의 경우 8 자유도 (정점 당 1 개)가 있으므로 최소 구적 점 수는 8 개가됩니다.

그것은 돌이킬 수 없으며 결과적으로 완전히 쓸모가 없습니다. 그 이유는 1 점 직교 공식이 직교 점에서 동일한 값을 갖는 모든 선형 함수 (시험 공간의 일부)를 구별 할 수 없기 때문입니다. 즉, 중간 점 규칙의 경우 모양 함수 'x'는 함수 '0'이 함수 '-x'와 동일합니다. 다시 말해, 시험 공간에는 정확한 적분이있는 차원 2가 있지만 중간 점 규칙의 경우 자유도가 2 개인데도 공간이 차원 1입니다. 중간 점 규칙의 경우 모양 함수 'x'는 함수 '0'과 동일하고 함수 '-x'와 동일합니다. 다시 말해, 시험 공간에는 정확한 적분이있는 차원 2가 있지만 중간 점 규칙의 경우 자유도가 2 개인데도 공간이 차원 1입니다. 중간 점 규칙의 경우 모양 함수 'x'는 함수 '0'과 동일하고 함수 '-x'와 동일합니다. 다시 말해, 시험 공간에는 정확한 적분이있는 차원 2가 있지만 중간 점 규칙의 경우 자유도가 2 개인데도 공간이 차원 1입니다.