숫자 구적법에 대한 방법 선택

숫자 직교 법에 대한 몇 가지 방법이 있습니다. 특정 클래스의 정수가 있다면 이상적인 방법을 어떻게 선택합니까?

정수에 대해 (예 : 매끄 럽습니까? 특이점이 있습니까?) 계산 문제 (예 : 오차 허용 오차, 계산 예산)에 대해 묻는 관련 질문은 무엇입니까?

이 질문들에 대한 답은 어떻게 다양한 방법론을 배제하거나 촉진합니까? 단순화를 위해 단일 또는 저 차원 적분 만 고려하십시오.

예를 들어, QUADPACK에 관한 Wikipedia 기사 는 상당히 일반적인 QAGS루틴은 " 피터 윈의 엡실론 알고리즘에 의한 가속과 함께 각 하위 구간 내에서 21 포인트 가우스- 크론로드 구적법에 기초한 전역 적응 구적법을 사용합니다. "

이 결정은 어떻게 이루어 졌습니까? 더 많은 것이 알려져있을 때 어떻게 비슷한 결정을 내릴 수 있습니까?

quadrature

— MRocklin
소스

아마도 이것에 제대로 대답하려면 더 구체적인 정보가 필요할 것입니다. 모든 크기에 맞는 기준은 없으며, 가우스 구적법은 종종 매우 부드러운 문제에 대해 잘 작동하는 반면 다른 구적법은 온화한 특이성이있을 때 사용될 수 있습니다. 그러나 주기적이라면 간단한 사다리꼴이 잘릴 수 있습니다.

— Reid. Atcheson

@ Reid. Atcheson, 당신이 지금 질문에 대답하고 있다고 생각합니다. 나는 최선의 방법이 무엇인지 묻지 않고, 어떤 종류의 질문을 할 것인지 그리고 그 대답이 당신에게 무엇을 말할 것인지 묻습니다. 일반적으로 이러한 종류의 문제에 어떻게 접근합니까?

— MRocklin

우선, 블랙 박스로 정수를 가져야하는 만능 직교 루틴이 필요한지 스스로에게 질문해야합니다. 그렇다면 적응성이 적분의 "어려운"지점을 잡기를 희망하는 적응 구적법을 사용할 수는 없습니다. 이것이 바로 Piessens et al. 가우스-크론로드 규칙 (이 유형의 규칙을 사용하면 적분의 근사와 동일한 함수 평가를 사용하여 근사 오차의 추정치를 계산할 수 있음) 필요한 공차에 도달 할 때까지 가장 높은 오류). Wynn-epsilon 알고리즘은 수렴 가속을 제공하며 일반적으로 엔드 포인트 특이점이있는 경우에 도움이됩니다.

그러나 integrand의 "형태"또는 "유형"을 알고있는 경우, 계산 비용이 필요한 정확도로 제한되도록 필요한 방법에 맞게 분석법을 조정할 수 있습니다. 따라서 살펴볼 사항 :

Integrand :

부드러움 : 직교 다항식 패밀리의 다항식으로 근사값을 구할 수 있습니까 (그렇다면 가우시안 구적법이 적합 함)
특이점 : 적분을 종점 특이점 만있는 적분으로 분할 할 수 있습니다 (그렇다면 IMT 규칙 또는 이중 지수 구적법이 각 하위 간격에서 양호 함)
평가를위한 계산 비용?
정수를 계산할 수 있습니까? 아니면 제한된 포인트 단위 데이터 만 사용할 수 있습니까?
진동이 큰 정수 : Levin-type 방법을 찾으십시오.

$|x-c|^{-\alpha}$ $c$ $\alpha$

적분 간격 : 유한, 반 무한 또는 무한. 반 무한 또는 무한 간격의 경우 변수 변환을 통해 유한 간격으로 줄일 수 있습니까? 그렇지 않은 경우 Laguerre 또는 Hermite 다항식을 가우스 구적법에 사용할 수 있습니다.

일반적으로 구적법에 대한 실제 플로우 시트에 대한 참조는 없지만 QUADPACK 책 (Netlib 맨 페이지가 아니라 실제 책)에는 평가하려는 적분을 기반으로 적절한 루틴을 선택하는 플로우 시트가 있습니다. 이 책은 또한 Piessens et al.의 알고리즘 선택에 대해 설명합니다. 다른 루틴을 위해.

저 차원 적분의 경우 일반적으로 중첩 된 1 차원 구적법이 적용됩니다. 2 차원 적분 (입방체)의 특별한 경우에, 상이한 경우의 적분 도메인에 대한 적분 규칙이 존재한다. R. Cools는 그의 백과 사전 공식 에서 많은 수의 규칙을 수집 했으며 Cubpack 패키지 의 주요 저자입니다 . 고차원 적분의 경우 일반적으로 Monte Carlo 유형 방법을 사용합니다. 그러나 합리적인 정확성을 얻으려면 일반적으로 매우 많은 수의 통합 평가가 필요합니다. 저 차원 적분의 경우, 직교 / 입방체 / 중첩 된 직교와 같은 근사법이 종종 이러한 확률 론적 방법을 능가합니다.

일반적인 흥미로운 참고 문헌 :

Quadpack, Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, 엘리스; 우버 후버, 크리스토프 W .; 카 하너, 데이비드 (1983). QUADPACK : 자동 통합을위한 서브 루틴 패키지. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2
수치 적분 방법 : 제 2 판, 데이비스 박사 및 라 비노 비츠 박사, 2007 년 도버 수학 수학, ISBN 978-0486453392

— 거트
소스

좋은 반응입니다. QUADPACK이 21 점 Gauss-Kronrod 방법을 선택한 이유는 무엇입니까? 왜 마법의 숫자?

— MRocklin

@ MRocklin : 정확성과 효율성 사이의 훌륭한 절충안 인 것 같습니다 : 직교 규칙을 과도하게 사용하고 싶지는 않지만 너무 약하지 않기를 원하지 않습니다 (적응 부분에 너무 많은 세분화) ). 완료하려면 : QAG 루틴에서 사용자는 직교 규칙을 지정해야합니다. QAGS (외삽 포함)에서 기본값은 21 포인트 규칙이지만 확장 호출 루틴 QAGSE를 사용하여이를 무시할 수 있습니다.

— GertVdE

@GertVdE 정말 좋은 답변입니다. Clenshaw-Curtis를 사용하여 중간 간격 특이점을 포착하거나 참조를 제공하는 방법을 자세히 설명 할 수 있습니까? 이전에 이런 식으로 사용 된 적이 없으며 빠른 인터넷 검색에서 세부 정보를 찾을 수 없습니다. 감사합니다!

— OscarB

@OscarB : 오래 지연되어 죄송합니다. 인터넷에 액세스 할 수 없습니다. Quadpack 책 §2.2.3.3 이상을 참조하십시오. Branders, Piessens, "Clenshaw-Curtis quadrature의 확장", 1975, J.Comp.Appl.Math., 1, 55-65; Piessens, Branders, "일부 수정 된 순간의 평가 및 적용", 1973, BIT, 13, 443-450; Piessens, Branders, "진동 적분의 계산", 1975, J.Comp.Appl.Math., 1, 153-164. 1972 년에서 1980 년 사이에 "Robert Piessens"에 대한 문헌 검색을 수행하면 흥미로운 논문이 많이 있습니다.

— GertVdE