비선형 반응 항을 갖는 확산 방정식에 가능한 수치 체계는 무엇입니까?

2D의 간단한 볼록 영역 , 우리는 다음 방정식을 만족하는 갖습니다 : 특정 Dirichlet 및 / 또는 Neumann 경계 조건에서 . 내 지식으로는 유한 요소 공간에 Newton의 방법을 적용하면이 방정식을 수치 적으로 해결하는 비교적 간단한 방법이 될 것입니다. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

나의 질문은 다음과 같다 : (1) Dirichlet 경계 조건이 0이라고 가정 할 때이 등식의 해당 변이 공식의 올바른 위치에 대한 소볼 레프 이론이 있는가? 그렇다면 어떤 Banach 공간을 고려해야합니까? (2)이 유형의 방정식에 가능한 수치 적 접근법은 무엇입니까?

pde finite-element

— 슈 하오 카오
소스

"가능한 수치 적 접근"에 의해, 이산화 또는 대수 솔버에 대해 질문하고 있습니까?

— Jed Brown

두 가지 접근 방식이 있습니다.

1) 임의의 f (u). 간단히 방정식의 오른쪽에 f ~ f (u0)을 넣고 비선형 솔버로 진행하십시오. 어쨌든 Jacobian이 없기 때문에 고정 소수점 방식이 좋은 선택입니다. Jacobian을 악용 할 수 없기 때문에 (일반적으로 알 수 없음) 가장 일반적으로 구현할 수 있지만 성능이 열등 할 수 있습니다.

2) f (u)는 직렬로 분해됩니다 (다항식, 푸리에). 구현 및 사용이 더 어려우며, 일부 특수한 경우에는 어려울 수 있습니다. f. 그러나 그 대가로 뉴턴과 같은 방법으로 Jacobian을 계산하고 활용할 수 있으며, 이는 일반적으로 우수한 성능을 제공합니다.

— 도미니크 라크
소스

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

f에 u ^ n을 추가해야합니다. 그런 다음 접근법 2)로 가장 잘 처리되는 간단한 다항식 형태의 반응 항이 있습니다.

— 도미니크 라크