고차 수렴을 달성하는 다중 물리 PDE에 대한 운영자 분할 방식이 있습니까?

16

진화 PDE가 주어지면

유_{티} = ㅏ 유 + 비 유

$u_t = Au + Bu$

여기서 출근하지 (가능한 비선형)은 미분 연산자, 일반적인 수치 해결 방법은 교대이고 $A,B$

유_{티} = ㅏ 유

$u_t = Au$

과

유_{티} = 비 유 .

$u_t = Bu.$

이것의 가장 간단한 구현은 Godunov splitting으로 알려져 있으며 1 차 정확합니다. Strang splitting으로 알려진 또 다른 잘 알려진 접근법은 2 차 정확도입니다. 고차 연산자 분할 방법 (또는 대안적인 다중 물리 이산화 접근법)이 존재합니까?

pde multiphysics operator-splitting

— 데이비드 케 치슨
소스

1

용어가 뻣뻣하거나 뻣뻣하지 않습니까? A와 B를 적용하는 함수가 있습니까, 아니면 상태를

에서

진행하는 알고리즘 만 있습니까? 하나가 뻣뻣하고 하나가 뻣뻣하지 않은 경우에는 많은 흥미로운 방법이 있습니다.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

7

BCH 수식이 두 개의 비계산 행렬의 행렬 지수를 근사화하는 체계적인 방법 이라는 것을 이해했습니다 .

— 맷 니 플리
소스

그러나 PDE가 실제 일지라도 복잡한 용어로 이어지지 않습니까? 사람들이 2 차 이산화 이상으로 사용합니까?

— David Ketcheson

1

내 기억이나 웹 페이지가 아닙니다. 그것은 많은 정류자로 이어집니다. 양자 다체에는 이러한 표현을 단순화하는 좋은 방법이 있습니다.

— Matt Knepley

7

일반 연산자 A와 B를 고려하고 포물선 문제를 해결할 때 일반적으로 필요한 긍정적 인 시간 단계 만 원한다면, 주문 장벽이 2, 즉 어떤 종류의 스 플리 팅을 사용 하더라도 얻을 수 없습니다 2보다 높은 수렴 률. S. Blanes와 F. Casas ( http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf) 는 최근 논문에서 기본 증거를 제공 합니다.

그러나 문제에 대해 조금 더 알고 있으면 몇 가지 방법이 있습니다.

시간을 거꾸로 방정식을 풀 수 있다고 가정하면 (예 : 슈뢰딩거 방정식에 공통), 많은 분할이 가능합니다. Hairer, Lubich 및 Wanner의 "Geometric Numerical Integration"책을 참조하십시오.
연산자가 분석 반 그룹을 생성하는 경우, 즉 t에 대해 복소수 값을 삽입 할 수있는 경우 (포물선 방정식의 경우 일반적으로) 복소 평면으로 이동하여 더 높은 차수를 얻을 수 있음이 최근에 관찰되었습니다. 이 방향의 첫 번째 기사는 E. Hansen과 A. Ostermann ( http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf )과 F. Castella, P. Chartier가 작성했습니다. , S. Descombes 및 G. Vilmart. 어떤 의미에서 "최적의"복잡한 분할의 선택은 현재 연구의 주제이며, arxiv에 관한 주제에 대한 여러 논문을 찾을 수 있습니다.

요약 : 문제에 대해 몇 가지 가정을하면 무언가를 얻을 수 있지만 그렇지 않은 경우 순서 2가 최대입니다.

추신 : 스팸 방지로 인해 Castella et al-paper에 대한 링크를 가져와야했지만 Google에서 쉽게 찾을 수 있습니다.

— 필립 도르 섹
소스

5

LBNL 의 CCSE 그룹은 최근 복잡한 화학 반응으로 적은 마하수 흐름에서 SDC (Spectral Deferred Correction) 방법을 사용했습니다. 그들은 SDC 결과를 Strang splitting과 비교하고 그 결과는 매우 유망합니다.

여기에 세부 초안 용지는 다음과 같습니다 복합 화학 로우 마하 수 흐름에 대한 이연 보정 커플 링 전략

SDC 체계는 고차의 정확한 배열 솔루션으로 수렴되는 반복 체계이지만 1 차 방법으로 작성됩니다.

— 매튜 에멧
소스

2

스 플리 팅 에러는 원칙적으로 스펙트럼 지연 보정 방법에 의해 감소 될 수있다. 그러나 이것은 활발한 연구 영역으로 보이며 실제로 일반적인 용도로 준비된 것이 아닙니다.

— 브라이언
소스

2

상당히 많이 나열되어있는 고차 분할 방식에 대한 새로운 리소스는 다음에서 찾을 수 있습니다.

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— 데이비드 케 치슨
소스