유한 요소법에 대한 부분 미분 방정식의 약한 공식을 도출하는 방법은 무엇입니까?

나는 '약한 공식'에 대한 복잡한 이해를 강조하지 않는 유한 요소 방법에 대한 기본 소개를 취했습니다. galerkin 방법을 사용하면 (타원형) PDE의 양쪽에 테스트 함수를 곱한 다음 (부분 또는 분기 정리)로 통합합니다. 때때로, 나는 적절한 약한 공식에 도달하기 전에 (책 뒤의 답을 바탕으로) 두 번 부분으로 통합해야했습니다. 그러나 같은 개념을 다른 PDE에 적용하려고 할 때 (그들은 여전히 시간에 독립적입니다) 공식화가 이산화에 적합한시기를 알 수없는 것 같습니다. 이 양식을 선형 방정식 시스템으로 분리 할 수 있음을 알려주는 '적색 플래그'가 있습니까?

또한 적절한 기본 기능 세트를 어떻게 선택합니까?

pde finite-element

— 바울
소스

다음을 스스로에게 물어보십시오 :

첫째, 부품 별 통합은 문제의 해결 가능성과 솔루션 공간에 어떤 영향을 미칩니 까?

둘째, 어떤 기능 공간을 구현할 수있는 일련의 하위 공간 (Ansatz 기능)을 만들 수 있습니까?

$u'' = f$ $f \in L^2$ $[0,1]$ $L^2$ $\phi \in L^2$

$\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ 및 $\phi \mapsto \int f \phi dx$

모든 기능은 간결한 지원으로 부드러운 기능 으로 근접 할 수 있으므로 모든 테스트 기능의 값만 알고 있으면 두 가지 필수 기능을 완전히 알 수 있습니다. 그러나 테스트 기능을 사용하면 부품별로 통합을 수행하고 왼쪽을 기능으로 변환 할 수 있습니다 $L^2$ $L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

"테스트 함수 가져 와서 미분을 계산하고 [0,1]에서 -u '와 통합하여 결과를 반환합니다." 그러나 임의의 함수 의 미분을 취할 수 없으므로 해당 기능은 에 정의되고 제한 되지 않습니다 . 그들은 일반적으로 매우 이상하게 보일 수 있습니다. $\phi$ $L^2$ $L^2$

여전히 우리는이 기능이 Sobolev 공간 까지 확장 될 수 있으며 심지어 의 경계 기능 합니다. 수단은, 주어진 에는 대략의 값을 추정 할 수있다 의 배수로 의 -norm . 또한 기능적인 는 물론 에 정의 및 뿐만 아니라 에 정의 및 됩니다. $H^1$ $H_0^1$ $\phi \in H_0^1$ $\int -u' \phi' dx$ $H_0^1$ $\phi'$ $\phi \mapsto \int f \phi dx$ $L^2$ $H_0^1$

예를 들어 Lax-Milgram 렘마는 PDE-book에 나와있는 것처럼 적용 할 수 있습니다. 기능 분석을 통해서만 설명하는 유한 요소 책은 예를 들어 Ciarlet의 고전 책 또는 Braess의 다소 새로운 책입니다.

Lax-Milgram lemma는 PDE 사람들에게 순수한 분석을위한 훌륭한 도구를 제공하지만 목적을 위해 많은 낯선 도구를 사용합니다. 그러나 이러한 도구는 수치 해석과도 관련이 있습니다. 실제로 이러한 공간에 대한 이산화를 구축 할 수 있기 때문입니다.

예를 들어, 의 불연속 부분 공간을 가지려면 모자 함수를 사용하십시오. 그들은 점프를하지 않으며 조각으로 차별화 할 수 있습니다. 그들의 미분은 부분적으로 일정한 벡터 필드입니다. 이 구성은 에서 작동 하지만 괜찮습니다.하지만 기울기가있을뿐만 아니라 (사각 적분이 좋은) 함수가있는 ansatz 공간을 만들 수 있습니다. 누구의 그라디언트가 차례로 발산 되었습니까? (다시 제곱 통합 가능). 그것은 일반적으로 매우 어렵습니다. $H_0^1$ $d=1,2,3,...$

따라서 일반적으로 약한 공식을 작성하는 방법은 Lax-Milgram 보조 법을 적용하고 실제로 기능을 구현할 수있는 공식을 원하기 때문입니다. (레코드의 경우 Lax-Milgram도 해당 컨텍스트의 마지막 단어도 아니고 ansatz도 이산화의 마지막 단어를 공백으로 두지 않습니다 (예 : 불연속 Galerkin 방법 참조). $H_0^1$

혼합 경계 조건의 경우 자연 테스트 공간이 검색 공간과 다를 수 있지만 (분석 설정에서) 분포 이론을 참조하지 않고이를 설명하는 방법을 모르겠으므로 여기서 멈 춥니 다. 도움이 되길 바랍니다.

— 슈할로
소스

이것이 훌륭한 해답 인 것처럼 보이지만, 나의 평범한 뇌 (연습 엔지니어)는 수학적 엄격함 (및 용어 / 리마 등)을 이해할 수 없습니다. 약한 형태에 대한 더 평신도의 설명을 원합니다.

— 크리슈나