행렬 인수를 사용하여 선형 시스템 해결

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우리는 표준 선형 시스템을 해결하기 위해 많은 계산 방법에 익숙합니다.

그러나 더 일반적인 (유한 치수) 선형 시스템을 풀기위한 "표준"계산 방법이 있는지 궁금합니다.

A x = b .

$Ax=b.$

여기서 는 행렬, 는 행렬, 은 행렬을 행렬로취하는 선형 연산자입니다. 이것은행렬을 벡터화하는 것, 즉 모든 것을 표준 형태로 변환하는 것을포함하지 않습니다.

L A = B,

$LA=B,$

A

$A$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

B

$B$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

L

$L$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

A x = b

$Ax=b$

내가 묻는 이유는 대해 다음 방정식을 풀어야하기 때문입니다 . $u$

여기서, , 2 차원 라돈 변환이고 그 수반 행렬, 양쪽 와 2 차원 배열 (이미지)이다. 이 방정식을 벡터화하는 것이 가능하지만 특히 3D로 가면 어려움이 있습니다.

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$

R

$R$

R^{*}

$R^*$

u

$u$

f

$f$

보다 일반적으로 어레이는 어떻습니까? 예를 들어, 해결 와 3 개 차원 배열 인을 (내가 아니라 어떤 점에서 라돈 변환이 작업을 수행해야합니다). $nD$ $LA=B$ $A$ $B$

미리 감사 드리며, 필요하다고 생각되면 다른 StackExchange로 자유롭게 보내주십시오.

linear-algebra

— 아이쿠 레이 1
소스

1

효과적인 다중 레벨 전제 조건을 구축 한 다음 켤레 그라디언트를 사용할 수 있습니다. 나는 이것이 매우 효과적이고 병렬화가 가능한 비슷한 문제가 있습니다. : 당신이 직접 방법을 원하는 경우, 리 아프 노프 방정식에 대한 본 논문에서와 같이 슈어 양식으로 감소 고려 cs.cornell.edu/cv/ResearchPDF/Hessenberg.Schur.Method.pdf

— 닉 알제

심판 주셔서 감사합니다! CG가 효과적으로 일하게 되었기 때문에 행복합니다.

— icurays1

답변:

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$\mathbb{R}^n$ $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

$y=F(x)$ $z=F^*(y)$

$x$ $y$

⟨ y, F (x) ⟩ = ⟨ F^{*} (y), x ⟩ .

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

$F=F^*$ $x$ $y$

— 마이클 그랜트
소스

@ChristianClason 감사합니다! 나는 인접한 계산에서 얼마나 실망스러운 오류가 발생할 수 있는지 경험을 알고 있습니다. :) 패키지 TFOCS linop_test.m에서 이러한 이유로 루틴을 구현했습니다 . 이 패키지는 벡터 공간에서 행렬, 배열 및 데카르트 곱도 지원합니다.

— Michael Grant

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$R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

3D 배열로 업그레이드 할 때 이것이 잘 될 것으로 생각하지만 Frobenius 내부 제품이 3D 배열에 정의되어 있지는 않습니다.

누군가 알고 있다면 더 일반적인 방법에 여전히 관심이 있습니다!

— 아이쿠 레이 1
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