고정 소수점 반복을 사용하여 pde 시스템 분리

경계 값에 문제가 있다고 가정합니다.

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

나의 목표는이 결합 된 문제의 해를 일련의 결합되지 않은 PDE로 분해하는 것이다. 시스템을 분리하기 위해 근사 시퀀스 대해 고정 소수점 반복을 적용 $(u^k,v^k)$ 하고 있습니다.

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

이론적으로 이것은 두 방정식을 순수한 타원 PDE로 풀 수 있습니다. 그러나 이런 방식으로 PDE에 고정 소수점 반복이 적용되는 것을 본 적이 없습니다. 수치 이산화 방정식 (유한 차법, 유한 요소법 등)에는 고정 소수점 반복이 적용되었지만 연속 방정식에는 직접 적용되지 않았습니다.

이 작업을 수행하여 뻔뻔한 수학 원리를 위반하고 있습니까? 수학적으로 유효합니까? DISCRETE 변수 문제가 아닌 연속 변수 문제에 적용되는 고정 소수점 반복을 사용하여 결합 된 PDE를 연결되지 않은 PDE의 시퀀스로 해결할 수 있습니까?

이 시점에서 저는이 방법을 사용하는 것이 실용적인지 아닌 이론적으로 그럴듯한 지에 관심이 있습니다. 모든 의견은 대단히 감사하겠습니다!

pde iterative-method

— 바울
소스

쌍곡선 PDE 문헌에서 분수 단계 및 연산자 분할 방법은 위에서 설명한 것을 수행합니다.

— 제프 옥스 베리

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth : 그렇습니다! 방금 수정했습니다.

— Paul

@ GeoffOxberry : 연산자 분할이 문자가 매우 다르다는 것을 알았습니다.

— 익명

@Paul : "결합 PDE"가 고정 소수점 반복 (고정 포인트 문제로 공식화되지 않음)을 통해 해결되는 하나 이상의 다른 문제를 생각할 수 있습니다. 도메인 분해 (예 : Neumann–Dirichlet 방법 참조). (여기서 차이점은 두 개의 PDE가 있지만 서로 다른 도메인에 있으며 커플 링은 인터페이스를 통해서만 이루어진다는 것입니다).

— anonymous

예를 들어 로 시퀀스를 정의합니다. $C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (플러스 경계 조건).

분명하다 경우 이 순서를 수렴, 그것은하는 PDE의 원래 세트의 솔루션이 될 것입니다.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

이 논리는 연속 공간과 불연속 공간 모두에서 작동합니다.

— 니코 슐 뢰머
소스

해서는 안 ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paul