다중 전자 시간 종속 슈뢰딩거 방정식을 수치 적으로 풀기가 어려운 이유

사람들은 일반적으로 다중 전자 시스템을 다루기 위해 SAE (Single Active Electron) 근사법을 사용하여 문제를 단일 전자 문제로 변환하는 것으로 보입니다. 예를 들어, 헬륨 원자가 레이저 장과 상호 작용하는 문제를 수치 적으로 해결함에있어, 사람들은 일반적으로 의사 전위에 의한 전자-전자 효과를 포함하고 본질적으로 하나의 전자 문제를 해결합니다. 그렇다면 왜 시간 의존적 다중 전자 슈뢰딩거 방정식을 수치 적으로 푸는 것이 어려운가? 고전적인 n-body 문제보다 훨씬 어렵습니까? 나는 거대한 고전을 많이가 본 적이 예를 들어, 몸 문제도 실시간으로 천문학에 수치 적으로 해결이 여기에 실시간으로 280,000 입자의 상호 작용을 포함하는 두 은하의 충돌을 시뮬레이션 할 수 있습니다.$n$

그렇습니다. 훨씬 더 어렵습니다. 를 들어 신체 문제, 당신이 계산 할 필요가있는 궤도 단지입니다 단일 변수의 기능을.$N$$\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$$N$

한편, 단일 전자의 경우에도 슈뢰딩거 방정식의 해는 함수, 즉 4 개의 변수의 함수입니다. 두 전자의 경우 두 전자 의 위치와 시간을 더한 함수로 파동 함수를 설명 하는 함수 를 있습니다. 그것은 7 개의 변수입니다.$\Psi(x,y,z,t)$$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

이제 body 문제에 대한 뉴턴 방정식과 같은 일반적인 미분 방정식을 푸는 방법을 기억한다면 시간에서 단계별로 모든 방정식을 앞으로 이동해야합니다.$N$$t$ 에 $t+\Delta t$거기에서 솔루션을 계산하십시오. 시간 간격을 나누면$[0,T]$ 으로 $M$ 길이의 간격 $\Delta t=T/M$ 모든 시간 단계에 대한 노력은 $N^2M$ 상호 작용의 순진한 구현을 사용하여 $N$ 몸 (당신은 달성하기 위해 방법을 사용할 수 있습니다 $N (\log N) M$ 노력하지만, 그것은 요점 이외의 것입니다).

반면에 7 개의 변수의 함수를 찾으려면 시간 간격을 $M$위와 같은 하위 간격이 있지만 6 개의 공간 좌표에 대해서도 동일하게 수행합니다. 그럼 총이 있습니다$M^7$고려할 그리드 포인트. 그리고 일반적으로$N$ 몸 양자 시스템, 당신은 가지고 $M^{3N+1}$.

작은 숫자 일지라도 쉽게 확인할 수 있습니다. $N,M$, 노력 $M^{3N+1}$는 보다 훨씬 크며 , 이는 왜 멀티 바디 양자 계산이 바디 고전 역학 보다 훨씬 비용이 많이 드는지를 설명합니다 .$N^2M$$N$