라그랑주 승수로서의 압력

비 압축 Navier-Stokes 방정식에서

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ 압력 항은 종종 비압축성 조건을 강제하는 라그랑주 승수로 언급됩니다.

어떤 의미에서 이것이 사실입니까? 비압축성 제약에 따른 최적화 문제로서 비압축성 Navier-Stokes 방정식의 공식이 있습니까? 그렇다면, 최적화 프레임 워크 내에서 비압축성 유체 흐름 방정식이 해결되는 수치 적 유사점이 있습니까?

— 벤
소스

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

이 문제들 사이의 동등성은 숫자 체계 (내가 아는 것)에서 이용되지는 않지만 스토크 스 방정식이 본질적으로 선형 부분 공간의 포아송 방정식이라는 것을 보여주기 때문에 분석에서 중요한 도구입니다. 시간 의존적 Stokes 방정식 (subspace의 열 방정식에 해당)도 마찬가지이며 Navier-Stokes 방정식으로 확장 될 수 있습니다.

— 볼프강 뱅 거스
소스

좋은 답변 주셔서 감사합니다. 이 공식이 시간에 따라 변할 수 있는지 알고 있습니까?

— Ben

예, 내가 말했듯이 발산 자유 함수의 하위 공간에 대한 열 방정식으로 이어집니다.

— Wolfgang Bangerth가

죄송합니다. 더 명확해야했습니다. 시간 의존적 Stokes (또는 Navier-Stokes) 방정식을 시간 경과에 따른 함수 적분의 최적화 문제로 다시 변환하는 방법이 있습니까?

— Ben

최적화 문제는 아닙니다. 열 방정식의 솔루션은 아무것도 최소화하지 않습니다 (라그랑지안 함수의 정지 점임). 찾기 : 다음과 같이하지만 당신은 스톡스 방정식을 수립 할 수 그래서 모든 은 제약 조건을 따릅니다 . 시험 공간보다 작은 시험 공간을 선택 했으므로 변동 방정식의 왼쪽과 오른쪽이 같지 않습니다. 차이점은 압력입니다.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth