보로 노이 테셀레이션과 들로네 삼각 분할 문제는 서로 어떻게 이중입니까?

나는 항상 보로 노이 다이어그램이 들로네 삼각 분할 문제의 이중이라고 들었습니다. 그들은 어떤 의미에서 서로 이중 일 수 있습니까? 나는 이중 문제 (즉, 선형 프로그래밍)가 동일한 대답을 산출해야한다고 생각했다. 분명히 두 문제는 같은 해결책이 없습니다. 우리는 어떻게 이중으로 간주 할 수 있습니까?

간단한 대답은 모든 들로네 삼각 분할마다 하나의 대응하는 보로 노이 테셀레이션이 존재하고 그 반대도 있기 때문에 이중이라는 것입니다. 그것은 대부분의 경우에 해당하지만, 대응이 일대일이 아닌 경우가 있습니다. 예를 들어 voronoi 테셀레이션이 정사각형 그리드 인 경우입니다.

보로 노이 테셀레이션과 들로네 삼각 분할은 주어진 포인트 세트에 대해 계산하기가 쉽지 않습니다. 그러나 일단 당신이 하나를 발견하면 다른 하나는 쉽게 찾을 수 있습니다.

점 집합 의 들로네 삼각 분할 에서 모든 삼각형은 "분위수"입니다. 이는 원주 안에 삼각형에 해당하는 점이 없음을 의미합니다.$P$

점 세트 대한 보로 노이 테셀레이션 은 보로 노이 셀 세트로 구성되므로 모든 포인트에 대해 가깝고 다른 포인트에 더 가깝습니다 .R R i P i$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)을 고려하면 주변 삼각형을 원주 중심에 연결하기 만하면됩니다.

점 세트 와 보로 노이 테셀레이션은 단순히 인접한 셀 점을 연결합니다. 이것은 보로 노이 테셀레이션을 구성 할 때 사용되는 점 의 집합을 알고 있다는 것 입니다.$P$$P$

다른 사람들이 말하는 것을 설명하기 위해 아래의 파란색은 Voronoi 다이어그램이고 빨간색은 이중 Delaunay 삼각 측량입니다. 그것들은 기하학적 평면 그래프로서 서로 이중입니다. 보로 노이 다이어그램에서 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation)을 도출하는 것은 쉽지 않습니다. 반대 방향은 명확하지 않지만 들로네 삼각 분할과 일부 계산에서 보로 노이 다이어그램을 계산할 수 있다는 것은 사실입니다. ComputationalGeometry 패키지를
          
사용하여 Mathematica에서 50 개의 랜덤 포인트에 대해이 다이어그램을 계산했습니다 . 내 코드는 이 링크 를 참조하십시오 .

${\bf P}$${\bf G}$$G_i$$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

어떤 의미에서 이것은 통계 물리학에서 삼각형과 육각형 격자 사이에 존재하는 이중성과 유사합니다. 정삼각형 격자의 세포의 중간 점은 6 각형 격자를 형성하고 그 반대의 경우도 마찬가지 입니다.

그러나, 모든 보로 노이 테셀레이션이 들로네 삼각 분할 (Dlaunay Triangulation)의 이중 인 것은 아님을 지적해야한다. 이 관계는 비가 중 Voronoi 공간 분할 에만 유효 합니다. 유클리드 거리 이외의 다른 것을 사용하여 에지를 결정하는 가중 테셀레이션 방법의 경우 해당 내용이 무너집니다.

Geoff의 의견에 대해 자세히 설명하자면, Delaunay 삼각 분할 및 Voronoi 다이어그램은 "문제"가 아니라 "개체"입니다. 따라서 "솔루션"에 대한 언급은 약간 벗어났습니다.

이중성은 테셀레이션과 삼각 분할 사이에 있습니다. 삼각 분할에서 테셀레이션으로 이동하려면 삼각 분할 정점의 보로 노이 세트를 형성합니다. Voronoi 테셀레이션에서 들로네 삼각 분할로 이동하려면 두 셀의 "중간 점"이 서로 닿으면 연결됩니다.

Voronoi 및 Delaunay 그래프는 그래프 속성으로 이중이라고합니다. Wikipedia의 이중 그래프 를 참조하십시오 .